CHAPITRE CINQUIÈME

On trouve d'aîlleurs, en résolvant Téquation, j:= ^^^^ — ^^^-^5 donc

2 sin — = —9 a sm — =: ^— •

lO 2 lO 2

Ce sont les valeurs des côtes des décagones réguliers ordinaire et étoile-, on en déduirait facilement les côtés des pentagones réguliers ordinaire et étoile.

173. Division de la circonfébence en quinze parties ÉGALES. — Elle dépend de Téquation

(1) Z»*-lzznO,

de laquelle il faut ôter les racines de z' — i = o et celles de

«■ — 1 = 0-, divisant donc cette équation par ^ »

il vient

Enfin, si l'on divise le premier membre par z* et que Ton pose z H — = :c, il viendra

(3) a:^ —ar^ — ^jc* -h ^.r -h i=zo; cette équation a pour racines (168)

2ïr 4^ Stt J^n

2 005—=-» 2C()S-V> 2COS-=-» 2COS-~r-f

ou

. Ilir , nir . ïT . l3ïr

2 sm -jr — 9 2 sm —-> — 2 sm ^r— j — 2 sin -r — • 3o 3o 00 00

Ce sont, en valeur absolue, les côtés des polygones réguliers ordinaire et étoile de trente côtés.

Les quinze racines de Téquation (i) s'obtiennent en muliîpliant les racines z* — 1 = par celles de z* — i =.• o (169) ^ on en conclut facilement que les huit racines de l'équation (a) s'obtiennent en multipliant les deux racines de z*H- z H- 1 = o par les quatre racines de z* 4- z" -h z* -f- z -f- 1 = o, qu'on

peut facilement trouver : on conuaitra donc ainsi les huit racines de Téquatîon (2), et, par suite, celles de Téquation (3). Des considérations fort simples permettent d'ailleurs de reconnaître que Téquation (3) résulte de Tëlimination dey entre les deux équations

. x'— Jjr-+-(j — 2.)=0, j-> — 7 — f = 0,

en sorte que sa résolution est ramenée à celle de deux équations du second degré.

174. Division de la circonférence en dix-sept parties ÉGALES. — Elle dépend de Téquation

Si Ton divise le premier membre par z — i , et que Ton fasse

ensuite z -\ — = x, il viendra

(l) j:» H- x' — 'ja.^ — 6x* + i5.r< -f I0.r» — iO«* — 4^ "+" ^ = O»

nous ferons, pour abréger,

les racines de Téquation (i) seront alors

aco^a, 2Cos3a, 2cos8a, 20037^,

2COs4a, 2COs5^/, 2C0S2a, 2C0s6a.

Posons

j, = 2tcosa -f- 2 cos8a -4- 2cos4û -f- 2C0S2a,

y^ = 2Cos3a -+- 2cos7a -i- 2 cosSa -f- 2 cos6«;

je dis que j^i ctj^, sont les racines d'une équation du second degré à coeflScients entiers. En elTet, on voit d'abord par l'équation (i) que Ton a

ensuite, en multipliant j^^ parj^,, transformant les produits de cosinus en sommes par les formules connues, et ayant égard à l'équation identique cos (17 — m)a = cosma, on trouve

^i7a=4 (2C0S« -h 2C0s8« H- 2COS/\a -{- 2 COS 20

-f- 2 cos3a-f- 2 cos 7 a ^- 2 cos 5a 4-2 cos6a)