CHAPITRE CINQUIÈME

-et, à cause deTéquation (i),

rir» = — 4î

Ji et j^, sont donc les racines de l'équation (2) /'4-^ — 4 = 0.

Posons maintenant

Ui = 2, cosa -f- 2 0054^9

«, m 2 cos3a -!- 2 cosStf,

«8 :^= 2 cos8a 4-2 cos2a,

1/4 = 2 ces 7 « -+- 2 cos6a ; on aura d'abord

Wi -^«4=72;

puis, en multipliant u^ par U3, U| par u^ et en transformant Jes produits de cosinus en sommes, on trouvera

£/^tt3 rr: «,«4 =: 2C0S« ■+• 2COs8« 4- 2COs4« H" 2COS2tf

-+- 2C0S3/I 4- 2 C0S7« 4- 2cos5« -+- 2cos6a,

et, par consécjuent,

U^Ut =—1.

11 résulte de là que les quantités u^ et as, Uf et u^ sont respectivement les racines des équations

u^ — jTxU — I =0,

a' — 7aa — 1 = 0.

Posons enûn

j:, = 2C0sa, j:4= 2 0084^1

;ij =: 2COs3û, ar« r:= 2C0s5a,

.r8=3 2COs8û, a:,= 2C0S2«,

j:* = 20057 a, J?8 = 2cos6a; on aura d'abord

X, 4- ^5 Z= «1 , ^2 4-.r6r=tt,,

;rs 4- 0:7 = «3 , ^^4 4- j:» = W4 .

et si ron transforme les produits XiX^^ ^t^t^ J^z'^i^ x^Xg en sommes de cosinus, on trouvera

par conséquent, les quantités Xi et Xe, x^el^^t x^ et Xi, X| et Xg seront respectivement les racines des équations

or* — UiX -4- ttj = 0,

ûT*— Wj.r -f- «4 nz o, \ j:*— w^;r H- M, rz: o.

Deux quelconques des quantités Uj, a», Mj, u^ peuvent s'exprimer rationnellement Tune par l'autre; en effet, nous avons trouvé les deux relations

et si Ton forme les produits i/ii/g, M1II4, puis que l'on transforme en sommes les produits de cosinus, on trouvera

UiU^^=z U2 — «8 — I , tt, W4 ==: «4 — tt, — I ;

de ces formules combinées avec les précédentes on tire

Ui=l

Ws— I

-9 tt, =

ce qui permet d'écrire les équations (4) de la manière suivante :

-r^ .. rt T - 1

r' lï j- 1 "' "" '

- ""• ffc

- — — rt

CHAPITRB CINQUIÈME. 219

Les équations (3) se déduisent Tune de Tautre par la transposition des quanti tés j^i ctjKiî pareillement, les équations (5) ne difl'èrent entre elles que par celle des racines u qui y figure 5 il s'ensuit que la résolution de l'équation (i) est ramenée à celle des trois équations du deuxième degré

u^ — yu — 1 = 0,

r=rO;

et Ton reproduit effectivement l'équation (i) en éliminant y et u entre les équations (6), ainsi qu'il est facile de s'en assurer. Le problème de la division de la circonférence en dixsept parties égales ne dépendant que des équations du deuxième degré, cette division peut être effectuée avec la règle et le compas. Nous ne pouvons indiquer ici les principes qui nous ont guidé dans l'analyse précédente, et nous nous bornerons à ajouter que ces principes conduisent à cette conséquence remarquable ; que la circonférence peut être dwisée en n parties égales, a\fec la règle et le compas, toutes les fois que n est un nombre premier et que n — i est une puissance de 2. Les plus petits nombres qui satisfont à cette double condition sont 3, 5, 17, 25^, 65537. [f^ojez mon Cours d'Algèbre supérieure, 4* édition, t. II.)

Résolution des équations binômes générales.

175. Proposons-nous maintenant de résoudre l'équation binôme générale

où A et B sont des quantités données positives, nulles ou négatives. En désignant par p eX aie module et l'argument de A -{- Bi, l'équation proposée devient

(1 ) z'^zzzp (cosa -f- / sina).

Posons

(2) z = r{cf)sç-f-/siny),

on aura

«f"z= r'»(cos/nç -+- /sin/Tif );

•et, pour que la valeur (a) de ^ satisfasse à réquatîon (i), il faut et il suflSt (160) que Ton ait

/•"zzzp, my =: 2/7r 4- a, d*où

Les racines de Téquation proposée sont donc données par la formule

(3) z= ^/pfcos h/sm — — j>

où k désigne un entier indéterminé.

Pour que deux valeurs de k correspondent à deux valeurs égales de 2;, il faut et il suÛSt que leur différence soit un multiple de m^ r équation (3) comprend donc, comme cela doit être, m racines distinctes que Ton obtient en donnant à k •m valeurs consécutives quelconques entre — 00 et -f- 00 ,

o, i, 2,. . ., m — i, 'par exemple.

La formule (3) peut s'écrire ainsi :

mr f ^ . ' ^\ [ ^A-TT . . 2/'7r\ 2 :=: y/p COS h « Slll — COS h l Sm ^ •

y'p f COS f- i sin -- } est Tune des racines de Téquation (i),

Inlt .,2A*7r ij , 1 . :x,Am, 1 i>

<:os }- 1 sm est 1 expression des racines /»'*"*" de l u-

nité^ d'où il suit qu*on obtient les m racines de Téquation (i),

en multipliant Vune d'elles par les m racines m'*"*" de Tunité.

D'après ce qu'on a vu au n° 167, on peut encore représenter

les racines de l'équation (i) par la formule

,,, mr I « . . ' <3f\ / ikic , . 2^ff\

(4) z =z dû [ COS K I iia -— ces zïzism )j