L'égalité
cos — h / sm - 1 n nj
montre que cos - -f- 1 sin - est une racine /i**'"* de cos a-^is\T\a\ ^ n n '
•Il ma , . ma . ,
pareilJement, cos l-ism — est une racine /i'""' de
cos ma H- i sinma ou de (cos a -4- i sin a)* : on peut donc écrire
v/(cos« -+• i sinaj** =: cos — a -h rsin - <7,
cosa 4- i sina) =: cos — a 4- i sm — (i.
C'est la formule de Moîvre étendue au cas d'un exposant fractionnaire — 5 mais il faut remarquer que le second membre ne
représente qu'une seule des n valeurs dont le premier est susceptible. On obtiendra d'ailleurs toutes ces valeurs (175) en multipliant le second membre de la formule précédente
par cos h i sm — •
La formule de Moivre a lieu encore pour un exposant négatif quelconque — m ; en elï'et, l'équation
( cos« -h i sin a)* =: cos ma -f- / sin ma donne
(cos« -t- / sina)"" cos ma -f- / sinma
^^ cos ma — / sinm<7,
ou
(cosa -I- / sina)—'" = cos ( — ma) 4- / sin(— ma),
La formule de Moivre montre qu'on peut résoudre algébriquement les équations auxquelles conduit le problème de la division des arcs. En eflbt, on a
a 4- s/tt . . a -^ lAn
cos h / sin =: Jcosa •
224 TRÀlTâ DE TftIGONOHftTRIB.
cette formule exprime que les m valeurs du second uieuibre sont respectivement égales aux m valeurs que prend le premier, quand on donne à h les valeurs o, i, 2,. . ., [ni — i). En changeant i en — i, on aura
C08 • I siD = v^cosfl + i sma
m et, par conséquent,
fl-f-2X'îr i/cosfl -f- fsin« -f- i/cosez — fsma
cos = »
, a-^iikit i/cosa -t- /sino — Jcosa — isina
sin — =1 r-^ •
Ces formules donnent l'expression algébrique des racines deséquations dont dépendent cos — et sin — » lorsque cos a ou sin a est donné.
Tliéorèmes de Moiure et de Cotes.
178. Les théorèmes de Moivre et de Cotes ont pour objet une représentation géométrique des diviseurs réels du trinôme ^im j- 2 2"*cosa -f- I, où. a désigne un angle donné, et du binôme z"'±i.
Les deux facteurs linéaires, qui correspondent à deux racines conjuguées de Téquation
^tm — ^ 3m coSû -4-1 = 0,
sont représentés par
z — 1 cos et
/ 2/'7r-)-« . 9.A'it -^ a\
— cos h i sm I
(ik-Tz -V- a . . 2/7r4-a\ cos ism \ m m }
le produit y\ de ces facteurs est
XI = s* — 2Z COS h 1,
