CHAPITRE GINQUIÈ^B

et l'on a identiquement

(i) «"" — 22™ cosa 4- I = ijr.jTtX,. . . Xn^iY.

Changeons a en tt -f- «, et faisons

on aura

(2) z^-h iz'^ cosa -h I — {y^x\ ' • -/m-»)**

Gela posé, considérons une circonférence de rayon i ^ parta* geons-la en 2m parties égaies aux points Ao, A], As,..., Aj,„-.i ; joignons le centre O à tous ces points, et menons une

ligne OP faisant un angle égal à — avec le premier rayon OAo >

enfin prenons sur cette ligne une longueur quelconque OP=Zy et joignons le point P à tous les points de division. Les triangles OPA,^.,jt et OPA,,„î/, donnent

"72 , 2/'îr-f-« PAa;n-.A = 2' — 23 COS h I ,

—i , (iXr-hl)T: -ha PA,;„,A-, = 2' — O z ces ^^ ^ h 1 ,

et, par conséquent,

PA2,„a* =: Xk, ^A^m-ik- 1 = j ^..

11 résulte de là que le trinôme z*'" — 22"* cosa -H i est égal au carré du produit des distances du point P aux points Ao, Aj, A4,. . .5 et que le trinôme 3*'" -f- 23"* cosa 4- 1 est égal au carré du produit des distances du même point P aux points A,, Aj, As,. . .; c'est dans ces égalités que consiste le théorème de Moivre.

Si l'angle a est nul, le point P est situé sur le rayon OAo et les équations (1) et (2) donnent, en extrayant les racine carrées des deux membres,

Trig. S. iS

C'est dans ces égalités que consiste le théorème de Cotes ^ on doit prendre le signe -f- ou le signe — dans le second membre de la première formule, suivant que le point P est extérieur ou intérieur au cercle.

Expressions des puissances du sinus et du cosinus d'un arc en fonction linéaire des sinus ou des cosinus des multiples de cet arc.