CHAPITRE CINQUIEME
nombre pair de termes, et, si Ton groupe comme précédemment les termes également distants des extrêmes, il viendra
2" COS"û = (l£« -H V" j -1 UV[U'^-^ -^ V^-')
D'ailleurs uv =: i et m*" -|- i^ == 2 cos ma ^ on a donc, si n est
pair,
2"""' COS"rt 1= C0S/2Û -] — cos(/2 — i)a -4- . . .
C0S2iZ
et, si n est impair.
2"—* cos^û = cos/îa H — cos(/2 — 2) ^ï I ^
cosa.
Occupons-nous maintenant de Téquation (2). Si n est pair, le second membre renferme un nombre impair de termes •, les termes également distants des extrêmes ont le même signe, et,
228 TRAITÉ DB TRIGONOMfiTRIB.
en les gro^pant ensemble, on obtient
2"(— i)'8in"fl
OU
2""'(— i)*sm"a (5)
= cos/îa cosT/î — 2) a -\ ^ cosf/i — 4)^ — •••
cos2û:
Si n CwSt impair, le second membre de Téquation (2) renferme un nombre pair de termes, et les termes également distants des extrêmes sont de signes contraires^ en les groupant, ensemble, on a
2"( — 1) • ism"a
= (tt" — f^) — - uv{u''-^—i^-^) -h ^^ ^"~^^ ttV»(a»-* -- P»-<) -^ .
GHAPITRB GINQUIÈBIB. 32g
on a d'ailleurs u*" — i/"== sisiiima, donc
a"-'( — i) * sin^a
= siïina siq(/î — 7.) a H ^ ^sin(/i — ^)a — ...
sina.
On voit que cos^a s'exprime, dans tous les cas, par une fonction linéaire des cosinus des multiples de û, et que sin"a s'exprime pareillement en fonction des cosinus, ou en fonction des sinus des multiples de Tare a, suivant que n est pair ou impair.
Expressions de sinma et de cos ma en fonction de sina ou de cos a,
180. Nous nous proposons ici de transformer sin ma et cos 172a en un polynôme ordonné suivant les puissances entières de sina ou de cos a, ou du moins en un produit formé par la multiplication d'un semblable polynôme et de cos a ou sina.
La méthode très-simple dont nous ferons usage est due h Cauchy^ elle repose sur l'égalité
jslx — i)...(.r — /i + i) x(x — i)...(x — n-hT) y — î — l— • — • —
<]ui a lieu identiquement quels que soient les quantités xtlj ^t le nombre entier positif /i. Pour établir cette égalité, dans
23o TRAITÉ DK TRIGONOMÉTRIE.
le cas OÙ j: et j- sont des entiers positifs, égaux ou supérieurs à /i, on peut partir de Tidentité
(i^zy
zY
OU
Si , après avoir e(ï< ctué le produit indiqué dans le second membre, on écrit que les coefficients de z" sont égaux de part et d'autre, on obtiendra Tégalité qu'il s'agit de démontrer. Cette égalité étant établie pour toutes les valeurs entières de x et de y supérieures à /2, elle subsiste nécessairement, quelles que soient x et j^. En efïei, désignons, pour abréger, par ? (^5 JK) ^^ ^ i^'^y) '®^ deux membres de Tégalité en question, et par Xq une valeur entière de a: supérieure à /i^ les polynômes cj) (xotj) et ^ {xo'ij)n qui ne contiennent plus que la variable^, sont égaux entï^e eux pour toutes les valeurs entières dey supérieures à n. Donc on a nécessairement
quel que soit r; eii d'autres termes, les polynômes cp(x,r) ^{x^j') sont égaux, quel que soit j^, pour toutes les valeurs entières de x supérieures à /?, et Ton conclut évidemment de là que l'égalité
a lieu identiquement pour toutes les valeurs de x et de j^.
En remplaçant, dans la formule (i)',x par - eiy par - j on obtient
/ (-C -t- j) f j: -f- jr — 2 ) . . . (.r -h j — 2 7Z -f- ?. )
181. Si, dans les équations (i) du n** 163, on remplace ^^-^^
