CHAPITRE CIHQUIÈMB

trouvera, pour des valeurs paires de m,

j ( — I ) * ces ma

:::::: 1 COS'tf -\ ;r— 7 COS*a

' COS'rt

^)m.m[m — ir.2.3.4.5.6

( — i)* smma

[m {m'\-^)m[ — cosa ~ -\ I 1.2.3

«t, pour des valeurs impaires de m,

I ( — I ) * sin ma

= sina I — cos'a

( — i) * cosma

m (m-\-i)m[m — i) = — cos« — ^r -' cos'«

^iiisi Ton aura, en particulier,

COS 2 a rrri — 2 SÎn'fl,

cos4^ ^^ I — 8 sin'tf -!- 8 sin^û,

cosGfl = 1 — 18 sin'tf H- 48 sin* a — 32 sin'^i,

sin3a = 3 sin a — ^ûn^a^

sinSa = 5 sina — 20 sin*û -t- lôsin^a,

a34 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

— COS2a = 1 — 2 COS^fl,

— C()s3a = 3 cosa — 4 cos'«, cos4a ^=1 — 8 cos*rt -{- 8 cos* <7, cosSa z= 5 cosa — 20cos'« -+- i6cos*a,

— cos6a r= 1 — i8 cos'a -t- 48 cos*a — 32 cos*rt.

182. Les formules précédentes sont ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de cos^x ou de sîna; on peut les ordonner par rapport aux puissances descendantes des mêmes quantités, et elles prennent alors une forme nouvelle qui convient h la fois au cas de m pair et à celui de m impair.

Posons, pour abréger,

V' . sinm/z V'

cos ma Tzz y w„cos'"~'"«, —. =: > <'„cotf"~"'~'rt,

^ sma ^

le signe \ indiquant la somme des valeurs que prend Tex-

pression qu'il affecte, quand on donne à n toutes les valeurs entières depuis zéro jusqu'à la plus grande de celles qui rendent positif ou nul l'exposant de cosa-, les équations (3) et (4) s'accordent à donner

Mais ces formules supposent n <^ ', pour w == — > dans le

cas de m pair, la valeur de u„ doit être réduite à ( — i ) * d'après la première des équations (3); dans le cas de m impair, les valeurs de u„ et de ^^„ se réduisent respectivement, d'après les

GUAPITRB CINQUIÈME. 235

équations (4), à ( — i) * /n et ( — i) ' pour n =

Si Ton multiplie et que Ton divise par le produit 1.2. ..// les expressions précédentes de m„ et i'„, il viendra

^=f— i)» ^(^ — /z — f ) (m — Tz — 2) . . . (/w — 2 y? H- t) ^^

pourvu que, dans le cas de 71=: i, on réduise à Tunité le produit [m — n — i) [m — n — 2). . .(m — 2/1 + 1) dans la valeur de

i/„. En adoptant cette nouvelle forme, la restriction n <

n'est plus nécessaire^ les seconds membres des formules pré-

cédcntes se réduisent en effet respectivement à ( — 1 ) * /n et

( — 1) * pour n == 5 dans le cas de m impair; pareille-

ment la valeur de a„ se réduit à ( — i)* pour /i = —? dans le

cas de m pair. Les seconds membres de nos formules deviennent illusoires pour 71 = o-, mais, d'après les premières expressions de m„ et i^», ils doivent être alors réduits l'un et l'autre à 2"*~*. On aura, d'après cela.

zo^ma

8in/7/^ ^V, V, (/w--/?-l)(/7f — /?-2V..f/W-2/?) ^„.,^,^

236 TBAITÉ DE TBIGOMOMÉTRIB.

cos ma •= 2"^* cos*a 2'"'"* cos"^'<i

sin /na . . m — 2

sma I

! -. : ±L1 J^ L a" -» cos— 'n

et CCS nouvelles formules ont lieu, nous le répétons, quel q soit rentier m, pair ou impair.

Si Ton change a en a, dans les formules (5), il viendi

pour des valeurs paires de m,

(—1) »coswa = 2'"~'sin'"û 2'"-'sin"^'^/H 2'""*sin"*"*â