CHAPITRE GINQUIÈMB

îl, pour des valeurs impaires de m,

i — i) * sinma

= a"*"* sin'"a a"*"' sm*""* « h ' 2'""* sin"*' * a

.7) ^ !!Lzlcosma

cosa . ■ • » I //i— 2 ™ a . - ^ (/w— 3){/w— 4) -.».«» I i.a

— - ^-^ ^ ^'a"^»sin'"-'ûH-....

La première des formules (5) donne immédiatement l'expression de la quantité que nous avons désignée par V„ au n** 1685 si, en effet, on pose z = cosa -+- i sina, on aura

I I z H — = 2 cos«, z"* H = 2 cosma,

et, en remplaçant 2 cosa par x dans la première des formules (5), on trouvera

I m ^ mim — 3)

formule qui se réduira à une identité si l'on y remplace x par

Développement des /onctions sinj? et cosx en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x.

183. Les formules (i) du n° 163 peuvent s'écrire de la manière suivante :

COS"'a 1 ° 1.2.3 *- I.2...(2/2-f-l) ° -t- i«iit

:&38 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTBIK.

en posant

les quantités R,„ et Ri„^.i mesurent les erreurs que Ton commet quand on néglige les puissances de tanga supérieures

à la (2/2 4- iV^"" dans les valeurs de et de ; nous

^ cos'"« cos^a

allons chercher à assigner des limites de ces erreurs, en supposant Tare a compris entre — jet-l- -T> et, par suite, tang*a<^i.

La somme R^ se compose d*un nombre limité de termes qui sont alternativement positifs et négatifs, quel que soit le signe de a, et il est clair que les valeurs absolues de ces termes seront constamment décroissantes, si Ton a

{m. — p — 2) (m — p — 3) , ^ r- -J^-) /v tangua < i ;

par conséquent, la valeur de R^ sera comprise entre zéro et la valeur du premier des termes qui entrent dans son expression, en sorte que Ton aura

Rj, = (; -^ ■ ' * 'f^^-J^^ tang''-*-»^,

en désignant par ^ une quantité comprise entre zéro et Tunité. Nous pouvons donc remplacer, dans les équations (i), Rj„ et Rsn+i par les valeurs que prend Texpression précédente de Rp, quand on y fait p = 2n et/? = 2/2-i-i, pourvu cependant que Tinégalité de condition écrite plus haut soit vérifiée pour p -= 2 72, auquel cas elle sera nécessairement satisfaite pour p = 171 -{- i. D'après cela, si Ton pose

que l'on remplace a par — dans les premiers membres des

formules (1), et w par - dans les seconds membres, que l'on désigne enfin par 6 et X les quantités comprises entre zéro et i