CHAPITRE CINQUIÈME

auxquelles se réduit Ç pour p= ^n et p = 2n -h i^ on aura

/ coso: a: (a: — a) / tangâfV'

cos" — ^

^. j7(4? — a), . ,{x — ^na -\- a) /tangaV" 1 .2. . .2« \ a J

g^x[j>^ — «). - .{x — mia — a) /tanga\ *"■*■»

1 sin.r ar/tang«\ a:(x — «)(•»? — 2a) /tangay

cos*" — m

x[x — a), . .[an — 'xna] /tang^y 1.2. . .(2/2 H- i) \ ^ )

(jT — al. . .(.r — ina — la) /tanga

Jll+3

et rinégalité de condition deviendra

(.r — 2/7a — 2fl) (:r — ina — 3a) /tanga\ *

(i~n -^'3)(^rt +'4) \~^ j '^ ' '

Supposons maintenant que, n étant un nombre aussi grand que Ton voudra, mais invariable, on fasse augmenter indéfiniment l'entier //i, de manière que le produit nia = x reste

, , ,. . , tan": a

constant; on aura a la limite non-seulement a = o, — ^^— = i ,

mais encore cos"* — - = i . En elïet, on a i — cos — <C — ; et,

à plus forte raison,

cos cos' — <C ■.•••> cos™"' 008" — <^ :

m m 2A722 ni m o.ni^

en ajoutant toutes ces inégalités, il vient

I — cos'" — Cm ou <;

Il résulte de là que cos'" — est compris entre i et i — - — , et,

^ tn ^ o.m '

par conséquent, cette quantité se réduit à l'unité ([iiaud m est

a4o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

infini. D'après cela, les équations (2) deviennent à la limite

l COS j: =1 h.,.dz zp r ,

\ I i.a.3 i.a...(a/îH-i) i.a...(a/ï-H3)

et Tinégalité de condition se réduit à

Les équations (3), où 6 et X désignent toujours des fractions comprises entre zéro et 1, ont lieu pour toutes les valeurs de n qui satisfont à la condition (4). On voit, en particulier, que, si

X est compris entre zéro et - > on a

jj8 j,i j.i

sin.r>j: — -r» COSar<I — ^ —F'

Supposons maintenant que Tentier n augmente indéfiniment *, les fractions