CHAPITRE GiNQUIÈME
formules (3) font connaître les restes de ces séries, c'est-à-dire les erreurs que l'on commet quand on s'arrête à un terme quelconque.
184. Les formules (5) fournissent le moyen le plus simple de calculer le sinus et le cosinus d'un arc donné. Si Ton fait
j? = et qu'on calcule les coefficients avec vingt-deux décimales, on obtiendra les formules suivantes :
cos ^-. 90" J =
sm
— 0,00002 52020 42373 06060 55 — ïj
— 0,00000 ooo63 866o3 08379 ^9 "17
o , 00000 00569 îi ï 7^9 2 1 967 93 -^
0,00000 00000 65659 63i 14 98 ^ 1 -+- 0,00000 00000 06066 93573 1 1 -ji
— o , 00000 00000 00529 44002 o I — jj
-^ o , 00000 00000 oooo3 43773 92 — ^
— , 00000 00000 00000 1 835 99 -^ ! ~ ^ J 00000 00000 00000 00 1 2 j jij —
o ,00000 00000 00000 00008 21 — rr
Trig, S.
2^2 TRAlTt Dl TRICOHOfllfrlRlE.
Les sinus et tes cosinus des arcs depuis zéro jusqu'à 4^ degrés comprennent les sinus et les cosinus des arcs depuis 45
jusqu'à 90 degrés \ on peut donc toujours supposer — <C - ^^^^
lei formules qui précèdent, en sorte que les séries seront tellement convergentes, qu'il n*cn faudra jamais calculer qu'un très-petit nombre de termes, surtout si l'on n'a pas besoin d'un grand nombre de décimales.
Si Ion fait successivement — = — ? — 9 — » — ? — ? on
obtiendra les résultats suivants :
8În 9®s= 00881** = o,i5643 4465o4o23i, sin i8°= C0S72* = 0,30901 69943 74947, 8in2/*= cos63*-- 0,4539904997 39547, sin 36*» = cos 54° = o , 58778 5^552 92473 ^ 8in45°=rC0s45°= 0,7071067811 86548, sin 54'= cos36*= 0,80901 6994374947, sin 63° = cos 27* ~ o , 89 1 00 6524 1 88368 , sin 72°= cosi8*=- o,95io5 65i62 95i54, 8in8i'»=cos 9°= 0,9876883405 95x38,
lesquels s'accordent avec les formules du n° 37 .
Décomposition des Jonctions cosx et &nx en un nombre arbitraire, mais limité, de facteurs.
185. Des formules du n^ 163 ou de celles du n** 181 il résulte
sinmiz . ^
que, SI m est pair, cos ma et — ; sont des fonctions en-
^ ^ msmacosa
tières de sina, qui se réduisent l'une et l'autre à l'unité pour
sin a = o. En outre, la première de ces fonctions, qui est du
degré m par rapport à sin a, s'annule, ainsi que cosma, pour
les valeurs de a comprises dans la suite
— (m — i)7r Stt tt tt 37r [m — i)7r
2m im im im o.m im '
elle est donc divisible par chacun des facteurs binômes
sin'âr sin' a sin*«
sin' — sin' — sin» ^ ^
2/W Hm 2/72
et, parce qu'eiyie se réduit à i pour sinai=iOy elle est précisément égale au produit de lous ces binômes.
La seconde fonction est du degré m — 2 par rapport à sin a^ et elle s'annule pour les valeurs de a comprises dans la suite
(m — 2)7r ^it 27r 2.7r ^v . (m—li)ir
eiî conséquence, elle est divisible par chacun des factenrs
sin' a
sm'a
sin'fl
an' — 2/n
sm'-î— 2m
et elle est même égale au produit de toas ces facteurs.
Eu mettant — au lieu de a, on aura donc, pour les valeurs patres de ttz,
\ am/ V 2m/ \ am /
sin* — \ / sin'
sinar= m sin — cos — [ i r**l *— •
in m \ ..aw/ \ ., (/»— ïW
^ sin* / \ sm* ^ ^—
Par un raisonnement semblable, ouk obtiendra, pour des valeurs impaires de m,
I sin*— \ / sîn»— \ / sîn* —
cosj:= cos — I I — -
.ia.JLM .i„.l£; A .in'i::t=3}ir
— / \ sin* — / \ sm'
nm / \ a 7/1 / \ 2 m
/ sin'— \ / sîn*— \ / sin" —
sinâ: = in sin— I i )( i
sin* / \ s?n*-!— / \ .sin'^ ^
2m/ \ 'im/ \ 7,m J
244 TRAlTfi DE TRIGOMOMÉTRIK.
Si Ton transforme les formules (i) et (2) en faisant usage de la relation identique
sin'
sm'
sin'tt , / tang'i/\
-r-— =: ces' Il ( ! — — >
on aura, pour les valeurs paires de m,
1 cosxzzcoa'»— I 1 Il I 5 — l-l '—
« I 1 . 37r / \ . {m — I )7r tang» — / \ tang» — / \ tang» ^ i- .
/ teng' — \ / tang* —
8inx = co8'" — • n» tang — I i
m "/rt\ . "iTV I \ ^ ^ (m— 1)71
^ tang" — / \ tang' .
"2 m/ \ " am /
et, pour les valeurs impaires de m,
tang" l c08.r = cos'»— I I —
tang' — / \ lang' — / \ tang' ^ — /
(tang* - \ . / tang*
Décomposition des fonctions cosx eff sina: e/z un nombre infini de facteurs.
