CHAPITRE CINQUIÈME
En eflel, si Ton multiplie la première indgalîté par j-
icosa:
que Ton développe sin(j: H- h) cl que Ton fasse passer tous les termes dans le second membre, elle devient
I — cosA ftansx sin/A
et sous cette forme on en reconnaît immédiatement l'exacti-
tude, car i — cos/i est positif et — 7— 1 est égale-
laLXxsx . ,. sinA ^
ment, puisque — — est > i , tandis que --v— est <^ i .
Il faut remarquer que le rapport continue à décroître
quand x croît de - à 7r; car, dans ce cas, le numérateur diminue, tandis que le dénominateur augmente.
Quant à la deuxième des deux inégalités proposées, si Ton y remplace les tangentes par leurs valeurs en sinus et cosinus, on lui donne aisément cette forme
sinf^ -f- 2a:) sinh // -4- 2-r h ^
ce qui a lieu, d'après ce qui précède.
CoROLLAinE. — *S/ X et x^-h h sont compris entre zéro et -
on a
sm(x -¥ h) X -^ h ^^ tang(jr 4- h) sinx X ^^ tangâ?
Il résulte de là que, si Ton désigne par uelu deux arcs quel-
couques compris entre et H — > on aura
\ sm'p / \ c^*/ \ tang^r/
le signe ambigu ± indiquant ici qu'il faut prendre la valeur at>soluc de la quantité qu'il affecte.
a46 TRAITÉ DE TUlGONOMfiTRlE.
187 . Le corollaire qui précède va nous donner le moyeu de trouver ce que deviennent les expressions de cosx et de sîno: obten ues au n^ 1 ^, lorsque l'entier m devient infini ; nous considérerons, par exemple, les formules (i) et (3), où m désigne un nombre pair, et nous multiplierons chacune d'elles par le facteur dz i , en convenant d'employer le signe qui rend les membres positifs. Le nombre m étant supposé assez grand
pour que la valeur absolue de — soit inférieure à - » si Ton fait usage des inégalités
mm mm
et de celles qui sont fournies par le corollaire du numéro précédent, les form^des (i) et (3) du n° 185 donneront
:.».,<.(.-fc-)(,-4^)...(,-,.,^,)
±co.x>±co.-i.(,-«^)(,-4f;)...(,-pji^.),
et
zhsin^>=hcos"'~..r(i— ^ ) ( i— -f- ) .. . ( i— ).
Or nous avons vu (183) que Ton a
0„ étant une quantité qui s'annule pour w = oo ^ par conséquent, si Ton désigne par e,« eft yï^ des quantités inférieures à 0,n^ on aura
sinx = x(.-i;)(i-^.)...(i-^-^^^^)(.-,«).
CHAPITKE GINQUitME. 24?
Si maintenant on fait tendre l entirar m vers l'infini, les quantités e« et yi« tendent vers zéro, et Ton aura à la limite
Ces formules donnent les valeurs de cos x et de sino: décomposées en un nombre infini de facteurs linéaires \ la périodicité de ces fonctions y est en évidence.
188. Formule de Wallis. — La première des formules précédentes peut s'écrire ainsi
Faisant a:= -> il vient
Tt 2 2 4 4 6 6 8 8
formule remarquable due au géomètre Wallîs, et qui donne
la valeur de - comme limite du produit d'un nombre infini
de fractions, alternativement plus grandes et plus petites que Tunité.
Décomposition des fonctions tango: et cotx en un nombre arbitraire, mais limité, de fractions,
189. Si f\z) désigne la dérivée d*un polynôme f{z) de degré m, et que a^, aj, . . . , a« soient les m racines de l'équa-
tion/(z) == o, on sait que Ton a
en outre, si a^ et a, sont des quantités imaginaires conjuguées, et que Ton fasse a^^=^r (cosa -\- i sina), a, = r (cosa — i sina),
la somme des deux fractions 5 sera
z — ai z — «2
iz — 2 r cosa
z^ — irz cosa -+- r^
Appliquons ce résultat aux deux polynômes z*^-^ /•"• et ^m — ,.m^ q^j Qjj^ |»^jj gj. l'autre pour dérivée mz'"^^ \ on aura (175), pour des valeurs paires de w,
TT (m — i)ir 23 — arcos— 2z — arcos^ ^—
(m — I ) ir
z' — 2rzcos h''* 2' — 2rzcos^— ^— -♦-
z' — 2/*z cos h r'
f/n — 2)ir
