Jr. .r

cot h tang —

tang* —

Un — i)7r

^^ tang* —

tang'

fùnctions tangj: et cot x en un nombre

^iui de fractions simples.

.acile de trouver ce que deviennent les fori4) ou (5) et (6) du numéro précédent, lorsjer m qu'elles contiennent. Pour fioserons d'abord que a: est com-

Il tes les fractions qui figurent

X'tl vu \%»j et ^^

25o TRAITÉ B8 TRI<K)NOHfiTRIB.

Posons

z = ces 1- / sin ~ » r = ces — — î sin — :

mm m m ^

il viendra, pour des valeurs paires de m,

/ 2 je

! tang.r zn — cet — mm

[sin»- sin»£ \

. , w a; ' " . /^ï— .i)ir - , -«^ |

sm^ sm* — sin» ^ sm* — 1

im m 2/w nij

2 2J7 2 jr

COt.r rrz — cot COt —

[je . j; T

8in^ — sm'— I

m ml

sm' sin' ~ sm' ^ sin' — 1

2 m m 2m mj

et, pour des valeurs impaires de w,

tangx z=z — tang ! cot ~

sin' — m

sm' — m

siQ' sm' —

sm' ^ ^ sia' —

cotx = — cot cot —

sin' — m

sm' —

sm' sm' —

. (m — l) TT . X

sm' ^ ^^ sm' —

Si Ton introduit des tangentes à la place des sinus qui figurent dans les parenthèses, on aura encore, pour des valeurs paires

CflAMTaB CINQUIEME. 25 I

de m,

\amsa: z=l tang 1 { cot h tang —

r tang^^ ta.g»J 1

Xl -}-...H -. ^ '

I tang' tane* — tane^ ^ tang' — I

L ° am ° m ° -2m ° mj

c<)t j: := i — cot tang — 1 cot h tang —

[tang'J tang'£ 1 h...^ ; ^ I' tani»* tang'— tang'^ tang'— 1 ° am ° m ° 2m ° m]

et, pour des valeurs impaires de w,

tong.r = tangj4-j(cot£+f,ng£)

, TT . J? ' * ' .(m — ?.)7r j: I

Ung' tang'— tang'^ ■ tang'— 1

—1 cot \- tang — I — tang ( cot — -f- tang — )

m\ m m j m m\ m ° nij

, 27r , .r ' * ' * ,(m — iJtt ./? I

tang* taaç* — tang* ^ tang' — 1

^ 2m ° m ° 2m ° mj

COtX :

DéconiposUion des fonctions tangx et colx en un nombre infini de fractions simples.

180. 11 est facile de trouver ce que deviennent les formules (3) et (4) ou (5) et (6) du numéro précédent, lorsqu'on y suppose infini l'entier m qu'elles contiennent. Pour plus de simplicité, nous supposerons d* abord que j: est compris cnti-e o et -^ et alors toutes les fractions qui figurent

25!l TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

dans les parenthèses des formules (3), (4)? (5), (6) soi positives. Nous considérerons seulement les formules et (5), dans lesquelles m est un nombre pair, et nous fei usage du lemme démontré au n° 186^ on a, d'après le ce laire de ce lemme,

sin'f (»* ^ tanîî'p

' u — K sin*'»' u' — «''

sin* u — K sin' v u- — c' tang' u — tang' t»

si u est supérieur à f' et que u et i^ soient compris entre o e

Au moyen de ces inégalités on déduit des formules et (5) du n« 189

■ tang —

tango: > h . . . -h

iî)"-" ■■■ L^^^J-

(i) , sin- -

-^-cos-^tanga:-ta„g-j