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sont convergentes pour |tji = i; donc elles sont, à plus forte raison, convergentes pour pO> ^ • Si donc on désigne p:u* 8,^^ et S'a.;, les limites de ces deux séries et que Ton fasse

s;,- Ti; + ^ +• • .-H („ ,^., - «.,.

GHAPITBE CINQUIÈME.

a,.^ et ol\^ s'annuleront pour /i = 00 . Geia posé, on peut écrire comme il suit les équations ( 2 ) :

tang^ ~R„ = (^— ^ 4- — x»-f- — ^* + . . . j

\j^ tt' tt* ir*

Or, si Ton désigne par a la plus grande des quantités a„ «4, . . . , a'j, a'j , . . ., les valeurs absolues des deux sommes

seront respectivement moindres que les produits de a par les valeurs absolues des deux nouvelles sommes

/2.r\» X fx\^

Les quantités (5) sont des progressions géométriques qui sont convergentes, la première pour les valeurs de x comprises

entre et H — » la seconde pour les valeurs de x comprises

entre — tt et 4- tt : d'ailleurs a devient nul, ainsi que R„ et R'„ pour /z = 00 -, donc on a à la limite

2^8, 2*84 3 , 2'Sc ^ tang j: z=i — — X H x^ H .r*

cet j: =: - X •

la première de ces équations subsiste pour toutes les valeurs de X comprises entre ^ et -f -5 la deuxième pour les va-

leurs de x comprises entre — tt et -4- tt Trig. s.

a58 THAITÉ DB TRIGONOHÊTRIB.

On a. identiquement

et si Ton fait

on aura

^ ' "^ 2 I.2...2fx «^ I.51...2P

Remplaçant, dans les équations (6), 8,^, et S'j^ par ces valeurs, il vient

l tanL'.r=z: 2= ('.>.'— l)B,-'— -h. ..-h 2»" 22"— l)B„ h...,

f cotJ:=3 2»B, ...— 2»''B,. ....

La seconde équation (9) prend une forme plus élégante quand on met - au lieu de x\ on obtient ainsi

X x ^ JT* ^ .7* ^ .r'"

10) 1 cot- = B, --hB, ^-7 -!-...-+- B„ h...,

^ ' 22 1.2 1.2.0.4 1.9.., .in

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de jc comprises entre — 27r et H- 27r.

193. Les coefficients Bi, Bj, B3,. . ., qui figurent dans les formules (9) et (10), se rencontrent dans un grand nombre de questions d'Analyse ^ ils sont connus sous le nom de nombres de Bernoulli. L'équation (7) donne Texpression générale de ces nombres -, mais cette expression contient la transcendante TT et en outre la somme d'une série indéfinie. Il est aisé, comme on va le voir, de déterminer successivement les nombres B^, Bj, B3, . . . , qui sont tous rationnels.

On sait que, si deux séries ordonnées par rapport aux puissances croissantes d'une variable x restent convergentes quand on réduit tous leurs termes à leurs valeurs absolues, et qu'on