Si) dans l'équation

1 I I I cosec;r =:= - tan^ - r h cot -^ jr,

on remplace tang - x et cot - x par leurs développements c» séries, il vient

U) cosecj:==- -h(2*— 2)B, h...-4-f2*"— 2)B« h...,

formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises <intre — tt et -f- ît .

La fonction sécj: est aussi développable en série convergente ordonnée suivant 1(îs puissances croissantes de j:, mais

seulement pour les valeurs de x comprises entre et H — •

En eflet, les deux fonctions tangx et cosécx étant développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes

4e x^ pour toutes les valeurs de x comprises entre et

H — j il en est de même du produit tango: cosécj: ou sécj:,

d'après un théorème counu dont nous avons déjà fait usage (193). Comme la fonction sécj: ne change pas par le changement de j: en — x, et que cette fonction se réduit à i pour a: = o, son développement sera nécessairement de la forme

^2) séc;i? = i-h C, -^ hC,

Pour déterminer les coeflScients Ci, Cj, C3,. . . , multiplions la formule précédente par

cos X = , ~ — + ——^ - . . . -f- ( - I )-

266 TRAITfi DE TRKiONOMÉTRIF..

le produit des premiers membres étant égal ai, les diverses puissances de jc devront disparaître dans le produit des seconds membres. Égalant donc à zéro le coefficient de j:*", il viendra

formule qui déterminera C„ quand on connaîtra Ci, Ci, . . ., C„-.i. Faisant successivement /i = i, 2, 3,. . . , il vient

d'où

on voit par les formules précédentes que les coefficients C sont tous des nombres entiers.

Remplaçant les coefficients B et C par leurs valeurs, les fornmles ( 1 ) et ( 2 ) deviennent

I X nx* 3 1 .r*

COSCC X = - -I- - -H ^ -f- h . . . ,

jr b 3oo i5i20

- x' 5jr< 6 IX*

sec a: = I H 1 j- -+- h . . . .

C'est ici l'occasion de faire remarquer qu'on peut obtenir au moyen de la formule (i) des relations linéaires nouvelles entre les coefficients B. Par exemple, ou a

cet .r . ces X = coséca: — sinx;

si l'on remplace les lignes trigonométriques par leurs valeurs