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(p'cosîw p*cos4&> \

. / p'sin?.w p* sin4« \

or les séries

sont convergentes, quelle que soit la quantité positive p] donc il en est de même, à plus forte raison, par un théorème connu, des séries qui figurent dans les expressions précédentes de sin z et de C0S2.

Les fonctions tang^, cotz, sécz, coséc j ne sont développables en séries convergentes ordonnées suivant les puissances croissantes de z que dans une étendue très-limitée, lorsque z est réelle : aussi ces séries ne sauraient-elles être employées pour exprimer là définition générale des fonctions auxquelles elles se rapportent*, mais il est naturel de définir celles-ci par le moyen des équations

sînz cosz

tangz^r , cot3= -; — 9

cosz smz

secz = - —, coseez = -. — • cosz suiz

/-w • • '!• . * I ^ siri3 umaz

On voit immédiatement que les rapports ~— et — ^ tcn-

dent vers Tunîté lorsque la variable imaginaiie z tend vers zéro.

197. A ce nouveau point de vue, les fonctions circulaires directes ont une liaison remarquable avec les fonctions que Ton nomme exponentielles; c'est ce que nous allons développer.

2^0 TRAITÉ DB TRIGOMOMÊTRIR.

Désignons par z une variable réelle ou imaginaire, et posons

la série du second membre sera évidemment convergente, quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de ^^ en changeant z en ^1, on aura de même

Les séries exprimées par ^{z) et ç (^j) restant convergentes quand on réduit z et ^1 à leurs modules, si on les multiplie l'une par l'autre et que Ton réunisse en un seul tous les termes de même degré en z et z^^ on obtiendra, d'après un théorème connu, une nouvelle série convergente dont la somme sera égale à ç(^) <f (2^1). Or, en faisant le produit dont il s'agit, on trouve que le terme du degré ti en ^ et Zx est

z" -+- - z"-' z, H i z^-'zj -1- . . . 4- 3«

ou

Jz-h z,)«

ou a donc et, par suito,

quelles que soient les fjt quantités 3, rr,,. ... Si ces quantités sont égales entre elles, la formule précédente se réduit à

donc, si |x et V sont deux entiers positifs, on a