CHAPITRE CINQUIÈME. 27 I

et, à cause de ç(i) cf ( — i) = g)(o} = i,

On désigne habituellement par e la valeur de c^ (i), en sorte c[ue Ton a

la série par laquelle le nombre e est ainsi défini est très-convergente, et si l'on pose

R„ sera Terreur que l'on commettra en s'arrètant au terme

On a évidemment

et, par suite,

'^ ^ 1.2. . ./« I // -4- 1 (/«-+-ij^ (/î-f-i/ "-y

ou

donc si, pour calculer e, on néglige tous les termes qui suivent le (n 4- i)'^'"*. Terreur commise sera moindre que la n''"*' partie de ce terme -, on trouve ainsi

D'après ce qui précède, on peut écrire ^ ( - ) est ovidenimeut positive, f l — '- \ Test également à

2^2 TKAITÊ DE TRIGONOMÉTRIE.

cause de

donc, sî z est réelle, la quantité 9(2) est égale à celle des valeurs de l'expression e*, qui est réelle et positive.

Ce résultat nous conduit naturellement à désigner par e", quel que soit z^ la limite de la série convergente

I H 1 H ... ; en sorte que faire la somme de cette

série, c'est élever le nombre e à la puissance z\ et, d'après la proposition que nous venons d'établir, la propriété fondamentale de la fonction e' est exprimée par la formule

qui a lieu, quelles que soient les quantités z qX. z^.

Si l'on désigne toujours par i l'imaginaire \/— T, et que dans r équation

on remplace z successivement par -(- /zr et par — iz^ il viendra

/ z' 2* \ Iz z» z» \