CHAPITRE CINQUIÈME

OU, à cause des formules (4),

(COSZ -+- isïnz) (cOSZi -f- /sinz,) :::::: COs(z -\- Z,) -|- isin(z H- 3, ;,

(cosz — isina) (cosz, — /sînzi) === cos(2 -l-3|) — /sin(3 -f- Zi);

en ajoutant ces deux équations et en les retranchant ensuite l*une de Tautre, on trouve, après avoir effectué les produits indiqués,

!cos(z -h z,) = cosz cosz, — sinz siaz,, sin (z H- z,) = sinz cosz, 4- cosz sinz,,

formules qui ont lieu, quelles que soient les quantités réelles ou imaginaires représentées par z et z^. Il résulte de Jà que toutes les formules de la Trigonométrie générale que nous avons déduites de celles qui se rapportent à l'addition des arcs subsistent sans aucune modification, lorsqu'on substitue aux arcs des expressions imaginaires.

Si, dans les formules (2) et (6), on remplace z par a: et z, par y , il viendra

cos(.r -h ijr)= cosx cos/j — sinx sin/x, sin( .T -\- iy)=. sin x cos iy + cos^p sin / j ;

mais les formules (4) et (5) donnent

( «^ ) ^/ = cos^ -h / smj, cos/y = ■ 9 sin iy = / \

on a donc

C^iy—- f* cQsjr -1- ié* sin J,

e»/ -4- e^y e^ — (fX .

, cos (a: -f- /r ) --=^ cosj: — / sinx,

sin(x -f- / j ) = smj: -{- / cos.r.

Ces formules (8) ont lieu, quelles que soient les quantités x et r réelles ou imaginaires j mais elles sont surtout utiles, pour ramener à la forme ordinaire des expressions imaginaires les fonctions e*, cos^ et sin^, dans lesquelles z désigne une expression imaginaire x -H ij-

Trig S. 18

On a encore, quels que soient x ciy^

sin (x -f- /r) 2sin(jr -f- /r)cosfjî — ly)

tangix H- ÎY) = 7 7-{ = 7 r-^ 7— r-{

' cos(a: -f- /j) 2C0S(jr -4- /jj cos(j!r — i y)

sin2x H- sina// cos 2 .r 4- cos 2 iy

et, à cause des formules (7),

, , / . X 2sin2.r -+- /(^'/— ^-*/)

(o) tang(j: -h /j) == )—- -/ •

^^' °^ '' ' 2C0S2x-f- (tf^'-f-c^rr)

Dans le cas de a: = o, cette dernière formule se réduit à

(10) tang/j=:/

ey -\~ e~y

198. La fonction exponentielle e* possède une propriété remarquable, qui pourrait être prise pour sa définition, et qui est exprimée par le théorème suivant :

Théorème. — Si V on désigne par z une quantité donnée, réelle ou imaginaire, et par m un nombre entier positif, on aura

lim ( IH j 9 pour ni=::cc

Pour démontrer ce théorème, développons par la formule du binôme, relative à l'exposant entier et positif, Texpression

i-h — j ; on aura, en désignant par n un nombre entier inférieur à m^ mais qu'on peut supposer d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra,

\ mj i \ mji.i

\ mJ \ mj \ m j i.2...n

R„ désigne la somme des termes, en nombre limité, qui sui-