I -est inférieur à j . Enfin, comme tend vers zéro, quand n

4,end vers Tinfini, on aura à la limite, pour /i = oo ,

* D'après la formule (3), la quantité u^ exprime Tun des Iot ' ^aritlimes népériens de iH- z, et c'est dans ce sens que l'on peut écrire

Une quantité positive n'a qu'un seul logarithme réel \ si donc z «e réduit à une quantité réelle zfc x comprise entre — i et + i , on aura pour les logarithmes réels de i 4- a: et de i — x,

j 203. Revenons à la formule (6) et posons

j i z — pe'«— p(cos6>-f/sinw),

f \ i -\-zz- re^^ =z r(cosô -f- / sin 0).

[ On tire de ces deux équations

rcosô =- i -f- pcosw, rsin0=:psmw, puis

(g) /'i= -}- y/i -f- i>.p cosw -4- p\

; et î (lo) cosô

T-T-ûcosw . . psmw ^ psiiiw

/- I-hpcosw

Les quantités p et co étant données, l'équation (g) détcrini-

P nera sans ambiguïté le module i"^ quant à l'angle 0, il sera

aussi complètement déterminé par les équations (»o), si on

l'assujettit à rester compris entre les limites — ff et -f- tt. Mais, parce que le module p de z est inférieur à i , on voit par les équations (lo) que cosO est toujours positif, et en conséquence l'angle demeurera compris entre les limites et

-; cet angle sera donc déterminé sans ambiguïté par la

troisième équation (lo) qui fait connaître sa tangente.

Cela posé, l'expression générale des logarithmes népériens de I -T- 3 est

l(i -f- z) = [{re^^) — Ir-f- /(ô -f- aX-Tr),

k étant un nombre entier \ par conséquent, la formule (6) donnera, pour une valeur convenable de k^

Le second membre de cette équation s^annule poui* ^ = o ; il en est de môme des quantités 1/* et 0j celles-ci sont d'ailleurs des fonctions continues de p : donc le nombre entier k est nécessairement nul, et l'on a

II Ir~f-?ô=^- ^- hî^-r ....

Si l'on égale séparément les parties réelles et les coefficients de i, que l'on remplace en même temps r et par leurs valeurs tirées des équations (9) et (10), on aura

, V , I pCOSflt) p*COS2w p'cosBca

(12) l yi-f- apcosw -4-p'=r i^ ^- h*- r ...,

, -, ^ û sinw psinw p'sin2ca p'sinSb)

^ ' ° 1 4-pcosw 12 3

et il faut se rappeler que le premier membre de l'équation (i3)

doit être pris entre les limites et -f- -•

Si, dans les formules (12) et (i3), on change c^ en tt — w,