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il viendra

/ r% , I pCOSW p*COS2ft) û*COs3w

(14) 1 yi — ?.f)COSW -f-p'=i: — ^ — ' 5 . . . ,

, ^, psinw ûsinw p*cos2w p" (i5) arc tang — ^ — ^- h ^ \- -

cos3

I — p COSfit) I 2 '3

Ces formules (12), (i3}, (i4) et (i5) sont fréquemment employées en Astronomie et en Géodésie.

Remarque. — Il est très-important de remarquer que la formule (4) donne l'expression du reste de la série dans laquelle se développe 1 (i -|- ^). Par exemple, si Ton fait 72 = dans celte formule, il vient

OU, ce qui revient au même,

6 désignant toujours une expression imaginaire dont le module est inférieur à 1 .

204. Développement de l'arc en série ordonnée suivant LES puissances DE LA TANGENTE. — Lcs sérics contcnucs dans les formules (i3) et (i5) sont convergentes, quel que soit (•), pour toutes les valeurs de p inférieures à 1 5 si Ton fait, dans la formule ( 1 3 ) ,

-1- " oi =zzr: —y p sm w r^ 2,

il viendra

(17) arctangz = y - -^ -f--~ - H-...,

formule qui a lieu pour toutes les valeurs réelles de z comprises entre — i et 4- 1 . Le premier membre doit être pris,

comme on Ta vu, entre les limites et H — ^ et alors il

sera nécessairement compris entre — -^ et -f- y Si l'on pose

z z=z tanga:,

la formule (17) se transforme dans la suivante f Q\ ^ ^a%'-^ langer tang^r

<]ui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises un lie On a identiquement