I , TT
arc tang z -4- arc tang - --=1^ zii ^
en prenant les arcs entre les limites et -h - et en donuant
au second membre le signe de z-^ d*après cela, si Ton change z en - dans la formule (17), on aura
(,9) arctangz=±^-l + ^---
Cette nouvelle formule subsiste pour toutes les valeurs de z comprises entre — 00 et — i ou entre -f- i et -f- 00 ; le premier
membre doit toujours être pris entre les limites et -|- -•
En faisant z = tangj:', on obtient
, . . n coi^x cot^.r
(20] .r —.±: cot.r H 1- . . . ,
formule qui subsiste pour les valeurs de x comprises entre
TT TT TV n
et — -T» ^11 entre -f- -7 et H — •
Remarque, — L'analyse qui nous a conduit à la formule (17) suppose essentiellement que la valeur absolue de z soit inférieure à I-, mais, comme la série du second membre reste convergente pour les valeurs limites =b i , la formule subsiste pour ces valeurs. En eiïet, supposons que zh z tende vers l'unité pai une série de valeurs successives inférieures h i, les deux membres de la formule (17) seront égaux pour toutes ces valeurs-, d'ailleurs chacun d'eux tend vers une limite déterminée : donc ces limites sont nécessairement égales.
GUAPITRE CINQUIÈME. 289
Calcul du rapport de la circonférence au diamètre.
205. Eu faisant x= j dans la formule (i8) du numéro précédent, on obtient
n III
cette série, que nous avons déjà rencontrée, converge trèslentement, et elle ne peut servir au calcul de n\ on peut obtenir, pour cet objet, des séries extrêmement convergentes. Posons, par exemple, avec Euler,
et
tanga=t:-,
on aura
tang^ =
tangj — tanga
I 4- tangT- tanga
et si Ton remplace a et b par leurs valeurs en séries tirées de la formule ( 17) du n^ 204, il viendra
4~"V2 3.2^^5.2* ' *y \3 3.3» 5.3* '")' On obtient des séries plus convergentes en partant de Tare a, dont la tangente est ^» et en opérant comme il suit. Soit
tanga = ~,
ou aura
2tan£'a 5
tang2û= 2 = — ,
I — tang'^a 12
, 2taDÇ2a 120
tang4arrr 2- — =1
I — u^Qg^aa 119
290 TRAITÉ DK TRIGONOMÉTRIE.
On voit que 4« dillère peu de j\ si Ton pose
il viendra
lang t\a — \ 1
'=' I -f- tang4« 289'
on a donc, en remplaçant a et i par leurs valeurs en séries,
4 "^^5 " 375^ "^ 575"* ~ ' • V ~ Vâ3^ ~" 37^ "^ " • * j •
Au moyen de cette formule on trouve sans difficulté cette valeur de TT avec vingt-cinq décimales exactes :
Euler a donné dans les Mémoires de V Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg un grand nombre de séries du même genre que la précédente-, mais ce que nous avons dit est suffisant, et nous renverrons les lecteurs curieux de connaître ces développements aux ouvrages que nous venons de citer.
Formules relatii^es au calcul des logarithmes. Module des logarithmes vulgaires.
