CHAPITRE CINQUIEME

Si Ton remplace x par — - dans la première formule, et par - dans la troisième, il viendra

et, en faisant /^ = i ,

flYN-hO-lN+al— î t-TT-iJ wH- -FT-^f -.-!-••• 1-

Ces formules sont employées pour le calcul des logarithmes népériens; les séries qu'elles renferment sont très-convergentes

lorsque les rapports — ? —- sont de petites fractions.

Si l'on multiplie les formules (i) par le module M des logarithmes vulgaires, on aura

(3) log(N-HA)=logN-i-2M[^^-

Pour que Ton puisse faire usage de ces formules (3), il est nécessaire de connaître le module M dont l'expression est

et Ton déterminera facilement sa valeur par le moyen des formules (i) ou (2).

Efiectivement la deuxième des formules (2) donne, en lai-

sant N = I ,

la deuxième des formules (i) donne ensuite, en faisant N = 8 = 2» et A = 2 ,

(5) liO=3l2 4-2(-H- -^ -H -^4..., ),

et Ton aura, en conséquence,

Les séries qui figurent dans cette formule sont suffisamment convergentes-, mais on peut en obtenir une infinité d'autres plus rapidement décroissantes. Par exemple, si Ton fait, dans la deuxième formule (i), K=4o96'=2", /zi=4,N+A=4ï^"t et, dans la deuxième formule (2), N = 4o= î^*Xio, il viendra

en éliminant 1 2 et I41 entre ces deux équations et Téqua* lion (5), on trouve

/ I /il I \

Si Ton calcule chaque terme de la formule (6) ou de la formule (7) avec vingt-huit décimales, de manière à pouvoir en

conserver vingt-cinq dans les valeurs de —r et de M, on trouvera

/ON 1 i = 2,3025850929940456840179914...,