CHAPITRE CINQUIÈME

«mployées pour le calcul des logarithmes vulgaires^ mais nous renverrons pour les détails à Tinslruction placée en tête des Tables de logarithmes de Callet.

Développements des fondions cosmx et sinmx en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de sinx.

207. Les formules (i) et (2) du n** 181, où m désigne un nombre entier, donnent les valeurs de cosma et de sinma exprimées par un polynôme ordonné suivant les puissances entières et ascendantes de sina, ou par le produit de la multiplication d'un tel polynôme et de cosa-, les formules (i) se rapportent au cas de m pair et les formules ( 2 ) au cas de m impair. Les seconds membres des formules (1) deviennent des séries illimitées si m cesse de représenter un nombre pair; la même chose a lieu à Tégard des seconds membres des formules (2), lorsque m n'y désigne plus un nombre impair, mais il est facile de s'assurer que ces séries sont toujours convergentes. En outre, les calculs que nous avons exécutés pour établir les formules dont il s'agit, dans l'hypothèse de m pair ou dans celle de m impair, s'appliquent également à l'hypothèse contraire, pourvu que cosa soit positif, condition qui sera remplie si l'arc a est compris entre les limites

et H — : la seule différence consiste effectivement en ce

que, dans le cas où nous nous sommes placés au n® 181, nous n'avions à développer que des puissances entières du binôme I — sin'a, tandis qu'ici les exposants de ces puissances auront le dénominateur 2. Mais chacune de ces puissances est, comme on l'a vu, développable en une série convergente dont les termes se succèdent suivant la même loi que ceux du développement des puissances entières; d'ailleurs le nombre des séries de cette espèce qu'on doit ajouter est essentiellement limité, et la formule de réduction du n*^ 180 est générale; on arrivera donc nécessairement aux mêmes résultats en opérant de la même manière dans le cas de m pair et dans celui de m impair. Par conséquent les deux systèmes de formules (i)

et (a) du n** 181 peuvent être employés indifféremment, quel que soit Tentier m, pourvu que Tare a rçste compris entre les

limites et -h • On a donc, en réunissant la première

formule (i) «à la deuxième formule (2), et en écrivant x au lieu de «,

^ m.m . Im-^ 7.]m.m{m — 2 ) . ^ cos/72j:=r I sm'j?-f- — ; sm*j: — . . .,

— sm.r ^ *="

i^ '- \ f . ■ sm*a:— . . .,

(i) ( sm/nj:= — sm.r S: ^ sm'jî

pourvu, nous le répétons, que ni soit un nombre entier et que

X soit compris entre et H

Cela posé, je dis que les formules (i) subsistent pour toutes les valeurs réelles de m, si Tare x reste compris entre les

limites et H

En effet, désignons par 9 (m) la somme des seconds membres des formules (i) multipliés respectivement par i et y/ — 1 ou i\ représentons aussi par cp{/ni) et ç (m-f-mi) les résultats que l'on obtient en remplaçant, dans ^('w), m par m^ et par m H- m^. Les quantités (f{fn)^ (j (^^i)? 9 ('n H- /??,) étant ordonnées par rapport aux puissances croissantes de sin j: seront des séries toujours convergentes, et cette convergence ne sera pas altérée si Ton remplace chaque terme par son module; il s*ensuit que, si Ton multiplie entre elles les séries représentées par (f{ni) et ç(/Wi), et que Ton ordonne le produit suivant les puissances croissantes de sino:, on obtiendra une nouvelle série convergente dont la somme sera (f(rn) (f(m^). Mais, lorsque m et rrii se réduisent h des nombres entiers, on a

car, dans ce cas, les équations (i) ont lieu, et Ton a

ff{m) = e'"" , y ( m, ) =ie'''"i';