CHAPITRE PREMIER. ig
de i^, on aura a' -4- i' <^ -5 par conséquent,
sin {a' -{- b')=: sin a' cos b' + cos«' sin b', ces (a' -+■ b') = cos a' cos b' — sin a' sin b'.
Comme les sinus de deux arcs supplémentaires sont égaux, tandis que les cosinus sont égaux et de signes contraires, si l'on
remplace a', b' et a' -4- b* par leurs valeurs a, b el
îT — (a -H i), on obtiendra précisément les formules (i) ei (2). 2° *Sï les formules {1) et {2) s'appliquent à deux arcs aetb^
elles subsistent encore, quand on ajoute- à l'un des arcs.
Les arcs a el b satisfaisant, parliypotlièse, aux formules (i)
et (2), posons a' = a-\ — > et remplaçons a par a' 7 îl
viendra
sin ( a' -H ^ ] = sin ( «' j cos b -+- cos ia' j sin b,
cos ( a' + 6 j = cos ( «' j cos^ — sin [a' j sin è ;
or on a, quel que soit x^
/ 7r\ . /tt \
la: 1 = — sin I .r r= — cos ar,
sm
eus
donc les formules précédentes peuvent s'i^crire comme il suit :
cos (a' H- b) =r cosa' cos^ — sin a' sin^, sin [a' -^ b)=z sin a' cos^ -f= cos a' sin//,
et Ton voit que ce sont les formules (i) et (2) où Ton a mis à
ou a -I — à la place de a.
Z^ Les formules (i) et[i) subsistent pour toutes les valeurs
positives de a et de b.
Supposons, en effet, que les arcs positifs aet b contiennent
respectivement, le premier m, le deuxième n quadrants, et posons
az=.m — hfl, b =zn \- b\
d et V étant chacun moindres qu'un quadrant^ on aura
sin (fl' -h 6') = sin a! cosb^ -f- cosa' sin^', cos (a' -\- b') =z cos b' cosd — sin a' sin b* ,
Or, d'après ce qui précède, ces formules subsisteront si Ton
ajoute successivement m fois - à a! eX. n fois - à A' ^ donc les
formules (i) et (2) s'appliquent à deux arcs positifs quelconques a Qlb.
4° Les formules (i) e^ (2) subsistent pour des ^valeurs quel^ conques de a et de b.
Cette proposition étant démontrée dans le cas où a et i sont tous deux positifs, supposons que l'un au moins de ces ares soit négatif, et désignons par h un entier assez grand pour que les sommes 2 /ttt -f- a = a', 2 /(Tt: 4- i = i' soient positives •, on
aura
sin [a' -\-b')=: sin d cos b' -h cos a! sin b' ,
cos ( a' -f- b')z=. cos a' cos b* — sin d sin b' ;
remplaçant d par 2 /tt: -h a, V par 2 Â tt -h i, et se rappelant que l'on a, quel que soit x,
sin(2/n -f- x) = sinx, COS(2/7r -t- J?) nrCOSX,
on retrouve les formules (1) et (2).
La généralité des formules (i) et (2) est donc complètement établie; il convient de remarquer que chacune de ces formules peut se déduire de l'autre en remplaçant dans celle-ci a par
a-\ — » ou 6 par h -\ — .
Si dans les formules (i) et (2) on change b en — i, il vient
(3) sin(a — ^) = sinflcosô — cosflsin^,
(4) cos(fl — b)=cosacosb -\-ûnas\Tib.
