CHAPITRE CINQUIÈME

donc les coefficients des mêmes puissances de sin x sont identiquement égaux de part et d'autre. Ces coefficients sont des fonctions entières de m et de m, , et de ce que leur égalité existe pour toutes les valeurs entières de m et de w,, on peut conclure que la même égalité subsiste, quels que soient m et mj ^ il suffit effectivement de répéter ici le raisonnement que nous avons fait au n*^ 180 à l'occasion d'un cas semblable. L'égalité ( 2 ) ayant lieu identiquement, on en conclut

f (/?i)<p(/n,). . .(î»(wv,) = y(w -H m, -+-. . .-f- Wy-,),

quelles que soient les v quantités m, /w, , . . . , m^.,, et, dans le cas où ces quantités sont égales entre elles, on a

[<p(/7i)]^ = <ï>(mv).

Si l'on l'ait m= -i f étant un nouvel entier, cette égalité devient

donc

k désignant un certain nombre entier, qu'on peut supposer inférieur à v. Or y ( ^ j se réduit à i pour jc = o : donc alors

l'entier k est nul; il s'ensuit que l'on a constamment A: = o, car les seconds membres des formules (i) varient d'une manière continue quand x croit de à 4- - • Ainsi l'on a

ff (/7i) =r cosma: -f- i sinmx,

lorsque m est égal à une fraction rationnelle -? et il s'ensuit

évidemment que la même formule a lieu encore si m est un nombre incommensurable.

On voit d'après cela que les formules (i) subsistent quel que

soit w, pour toutes les valeurs dex comprises entre — - et -|- - •

Développement de la fonction arcsinz en série ordonnée suiv^ant les puissances entières de z.

208. Les formules (i) du numéro précédent peuvent s'écrire comme il suit :

I — cosmar ^ ^^

•= sin' a: -h

?. / mA sin*x 2.4/ 'w'X / m'Xsin'j 2.4. . .(2'2 — 2)/ m}\ r m' lsin*"j:

sm/72x

ma:

= sinxH-

I , . ûn^x 1.3, ., / m'\ sin*.r