CHAPITRE CINQUIÈME

n? 207 peuvent être développés en séries ordonnées suivant les puissances entières de m : donc les seconds membres peuvent Têtre aussi de la même manière. Les formules dont il s*agit étant ainsi préparées, si Ton égale de part et d'autre les coefficients de m et ceux de m', on retrouvera les équations (i) que nous venons d'obtenir.

Si l'on remplace x par x dans la deuxième formule (i),

il vient '

. . vr I cos*.r 1.3. ..(2/1 — l) cos'"'''*.r {2) a: = COSX -^^ ^

cette formule (2), qui donne le développement d'un arc en série ordonnée par rapport aux puissances de son cosinus, exige que j: soit compris entre zéro et r.

Enfin si l'on remplace x par arc sinz, dans la deuxième formule (i), et par arccos^, dans la formule (2), il viendra

II z» I.3.. .(2/2 — i) z^+' arc smz = z H — — -H ... H >-^^ — 1- . . . , 2 3 2.4. . .2/2 2/2 -f- 1 V I z» 1.3. ..(2/2 — 1) z»»-»-' arccosz = z -^ — ... j- 1-. . . .

On obtient des résultats numériques qui offrent quelque intérêt en faisant j: =--,=- ? = ^ dans les formules ( i ) . 4 û D

Développement des fonctions logsino: et logcosj: en séries ordonnées suiv^ant les puissances ascendantes de x.

209. D'après les formules (i) du n° 187, si l'on désigne les logarithmes népériens par la caractéristique 1, comme nous l'avons fait jusqu'ici, et que l'on pose

^ i,o..-a. = ,(,-fc;)^...H-,[,-p^,].

les quantités R„ et R'„ tendront vers zéro quand n tendra vers

l'infinî. Or, pour toutes les valeurs de z comprises entre — i et H- I , on a

donc les logarillimes, en nombre limité, qui figurent dars la première équation (i) seront développables en séries ordonnées suivant les puissances croissantes de x pour toutes les

valeur^ de cette variable comprises entre et -f- - i pareillement les logarithmes qui figurent dans le second membre de la deuxième formule seront développables de la même manière pour toutes les valeurs de x comprises entre — tt et -f- tt. Si l'on forme ces développements et que Ton fasse tendre ensuite n vers Tinfini, on obtiendra les valeurs de log cos a: et de logsinx en séries infinies. Or il est aisé de voir que le calcul qu'il faudra exécuter est de tout point semblable à celui que nous avons développé au n° 192 pour obtenir les séries qui représentent les valeurs des fonctions tango: et cot x. Le calcul relatif à — log cosx ou à log sino: — logo: diffère seulement de celui qui se rapporte à tangx ou à cota: en ce

que les exposants de x sont augmentés d'une unité, et que les coefficients sont divisés par l'exposant de a:, circonstance dont le Calcul différentiel donne la raison. D'après cela, on peut écrire immédiatement les deux formules

lcOS.rz=z-2(2^-l)--^ ...2.— (2î«l)£f \ ...,

flsmx=: \X — 2 . . . — 2*"~' . . ;,