II. 2 /2I.2...2/I

Bj, Bj, . . . , Bu, . . . désignant ici, comme au n° 192, les nombres de Bernoulli. En retranchant la première formule de la deuxième, on obtient

1 tangx = l^c -f- 2'(2 — i) ~ — f- . . •

CnAPITRB GINQUIÈaiB. 299

La première formule (2) et la formule (S) subsistent pour toutes

les valeurs de x comprises entre et H- -5 la deuxième for-

mule (2) peut s'étendre aux valeurs de x comprises entre — 7: et -hîT. Le cas de x négatif n'introduit point d'imaginaires, car nos formules ne renferment en réalité que les seuls logarithmes 1 cosx, 1 — -^ 1 — ;^i qui restent réels quand x est

négatif.

Si l'on remplace les nombres B, , Bj,. . . par les valeurs que nous avons obtenues au n*' 193, il viendra

l CCS j: =1: — c — . . . ,

r* rr«

1 Sinj:=l.r— -r ^ ...,

b I bo 2c35

ltangx:r.lx-,- + + -^-,-....

210. Les formules (2) peuvent être employées pour la construction des Tables des logarithmes des sinus et des cosinus.

Si l'on y fait x = — -> qu'on les multiplie par le module M

des logarithmes vulgaires et qu'on y introduise, au lieu des nombres de Bemoulli, les sommes S ou S' liées à ces nombres par les formules (8) du n*^ 192, il viendra

f^ \ ,, fr. 'w' i ^ m* I ^ w®

logcos — go*» — — M S, — -h - S4 — - -h - Sfl -^

iog sin ( — 90** j r=: log - -4- log m — log n

la caractéristique log exprimant des logarithmes vulgaires. On aurait obtenu des séries plus convergentes si l'on avait conservé dans les formules (i), sans les réduire en séries, les loga-

rîthmes de i — ~- et de i -9 quantités qui se réduisent ici

3uO TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

à I ^ et I — -j—,^ \ les développements de ces logarîtlinies

sont

log I— y- = — M -— H i— - -f-^ --—-4-... ,

et, si Ton retranche ces équations respectivement des deux précédentes, il viendra

log cos ( — • 90° J

= log (71 4- m) -4- log(/i — m) — 2 log 72

logsin (^90")

=^ log ^ -f- logm -f- log(2w + m) -f- log(2/i — m) — 3 log/? o

Ces deux formules sont très-commodes pour Tobjet ^ue nous avons en vue \ en les retranchant Tune de l'autre, on aurait la

valeur de log tang f — 90° j » que nous nous dispensons d'écrire.

Si Ton calcule les coefficients numériques des formules précédentes avec vingt décimales, on obtiendra les résultats suivants :

lOgCOS ( - 90° j =l0g(« — /7l)-Hl0g(/2-MW) — 2l0g/l