CHAPITRE CINQUIÈME

3oi

— 0,00000001298171473773 —jj-

— 0,000000001261471 l53ll "Tg-

— 0,00000 OOOOI 24567 12069 -jf

— 0,00000 00000 01258 i4a24 -TT

• 0,00000 00000 OOOOI 35726 —

• O ,00000 00000 00000 1 4062 -rrr

— 0,00000 00000 00000 01 465 -rr

— 0,00000 00000 00000 00X53 -rr

rr* m**

0,00000000000000000016 -rr-

logsin ( — 90'M = log/w H- log (2/î — /w) -H Iog(2/i -h m) — 31og/2 H- T, 59405 98857 02190 26861

— o,oooo3 92291 46453 91834 nr

— 0,00000 00043 48715 5oi8o -jj-

— 0,00000 00002 3i93i 2i4io -7-

— 0,00000 00000 12659 07465 —rr

in"'

3o2 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

Dé\^eloppements en séries ou en produits injinis des fonctions circulaires de variables imaginaires.

21 1 . Les formules qui expriment les fonctions cos x et sinx par des produits infinis de facteurs linéaires ne sont pas bornées au seul cas où l'arc x est réel; ces formules subsistent, au contraire, quel que soit x. Il en est de même des formules qui expriment les valeurs des fonctions tangx, cot.r, sécjr, cosécj?, décomposées en une infinité de fractions simples. Enfin les séries ordonnées par rapport aux puissances entières et ascendantes de x, qui représentent les fonctions tangx, cotx, séco:, coséco:, dans le cas où a: a une valeur réelle comprise entre des limites convenables, ne cessent pas de représenter les mêmes fonctions quand x devient imaginaire, pourvu que le module de cette variable reste inférieur à la limite qu'elle ne doit pas dépasser lorsqu'elle est réelle et positive.

Nous allons établir ici ces diverses formules par des démonstrations nouvelles, qui s'appliquent indifféremment au cas où la variable est réelle et au cas où elle est imaginaire; ces démonstrations reposent sur le lemme suivant :

Lemme. — Si Von désigne par a un arc réel compris entre

zéro et -"> et par z une variable réelle ou imaginaire dont le

module soit inférieur à cl ^ le module du rapport — — sera ^ "^ tanga

inférieur au module de - • •^ a

En elfet, si l'on pose

on aura

mod --^'^ ::=- tang(.r-4-/j)tang(j:— /j) tang'a tang-a

T 1 e^ — e~y\^ tang'o:

__ tang* a \e^ -{- e-y I tung' a ^

uy — e-yy

'+ Lr^.-J '»"g''^