CHAPITRE CINQUIÈME. 3o

or, le Diodule de z étant, par hypothèse, inférieur à a, ou a

a:^<' a*, et, d'après le lemme du n° 186, — %- <" -^: on a

^ ' ' ^ ' tang2 a ^ a' '

d'ailleurs

I I / gr— g~.r y / 1.2 .3 ^* \ ,

donc

, tang'z ^ .r» -h r* , tanff z , z

mod — 2__ <; L ou mod — ^^— <" inod -•

tangua a' tanga a

ConoLLAiRE. — Les mêmes choses étant posées, si le module p de z est inférieur à -^^ on pourra écrire

tang'a tang'z — tangua a'

en représentant par e la base des logarithmes népériens, par B et B des expressions imaginaires dont les modules sont inférieurs à V unité.

En effet, d'après la formule (i6) du n° 203, on a

modî^'^

tang'a

pourvu que le logaritlime népérien qui figure dans le premier membre soit pris de manière que la valeur absolue du coefficient de i soit au-dessous de -• Or, d'après notre lemme, le second membre de Tinégalité précédente est inférieur à la

fraction -•, d'ailleurs, comme nous supposons ^ <C -'

cette fraction est plus petite que i, et elle augmentera si

3o4 TUAITÉ DE TRIGONOKÊTRIE.

l'on ajoute ^ à chacun de ses termes ^ elle est donc inférieure

Le module du logarithme népérien de i ^ étant

inférieur à — ~ > ce logarithme est égal au produit de —~- par

une expression imaginaire dont le module est inférieur à i ) on a, en conséquence,

tang^'a

En second lieu, comme le module d'une somme de deux parties est au moins égal à la diilérence des modules des parties (162), on a

lang*a — tang'z tang'z

tangua

et, d'après notre lemme, le premier membre de cette inégalité

sera, à plus forte raison, moindre que et que -y-

a} Si donc on désigne par 5 une expression imaginaire dont le module est inférieur à i , on aura

tang'3 ^^^P\

tang-a — tang'z a^

212. Les formules relatives à l'addition des arcs s'appliquaut aux arcs imaginaires comme aux arcs réels, toutes les formules qui se déduisent de celles-ci acquièrent la même généralité, ainsi que nous en avons déjà fait la remarque. Il s'ensuit que les formules (i), (2), (3), (4) du n° 185 subsisteront si l'on y remplace l'arc réel x par une expression imaginaire z d'un module quelconque p. Cela posé, considérons les formules (3), où m désigne un nombre pair^ dési-