CHAPITRE SIXIÈME
les quantités p^ q cl x seront très-petites. La formule
cos« = ces 6 cosc -f- sin^ sine ces A donne
, 2 COS« H- COS 2/7 ces 2 q
^ ' C0S2/? -|-COS2<7
et
cos« — COS (a -+-.r)
(i — cosa)(i — cosip) — (i -h cosa) (i — COS27)
[ COS2.p -r- COST^q
On voit que, si Ton considère p et q comme des quantités du premier ordre, x sera du second ordre-, et, si Ton veut négliger les quantités du quatrième ordre, il faudra remplacer ces 2p par i — 2 p*, cos 2 q par i — 2q* dans le numérateur du second membre de la formule (i), et réduire ces cosinus à l'unité dans le dénominateur du même second membre; en outre, le premier membre sera a:sina, au même degré d'approximation. La formule (1) devient, d'après cela,
(2) a:=:ip^tang-a — ^'cot-a; mais il faut écrire, pour le calcul,
(3) X— :/?* tang-rt sini"— ^* cet- a sini".
Cette formule (3) peut être employée avec avantage dans les calculs géodésiques pour effectuer la réduction des angles à l'horizon -, elle est plus expéditive et elle exige des Tables moins étendues que la formule du premier cas des triangles spbériques; cependant, lorsque les angles p et q surpassent I ou 2 degrés, il est plus sûr d*employer la méthode générale. Il est facile d*estimer l'erreur que Ton commet en faisant usage de la formule (3). Reprenons à cet effet la formule (i), qui est rigoureuse, et poussons l'approximation jusqu'aux termes du sixième ordre exclusivement ; le premier membre devra être
réduit à a:sina -f- — cosa; à Tégard du second membre, on
Trig. S. ai
remplacera CCS 2 j[? et ces 2^ par i — 2/r-h~- et i — a^^-f--^
dans le numérateur, maïs on réduîra ces cosinus à i — 2p* ei I — 2 y* dans le dénominateur. On aura donc
X^ COSrt
I — {p^ -^ q^) 2 sin«
Remplaçant —^ -r par i -H /?' -H ^*, ce qui est permis,
et x^ par la valeur tirée de la formule (2), il viendra
jr rrr »» tang -a — 7* c(U - « -{- »M — tan<î -a-\- 7 tani;' - r
— 7*1 — cot - <7 -h -7 cet' - <'M P^n^K cot - « — tanfî — ^/ ) .
L'erreur que Ton commet en employant la formule (3) est donc égale à
/?' sin' 1 ( — tang - a -\- -.- tang* - a J
— q* sm* ï — cot - a -!- -T cet' - « )
n^ n^ cinS i " f r»nf rt — tnnor — ^/ i
p^q^ sm' r cot - « — tanff -
et il est facile de Tes tî mer par la considération du plus grand des termes contenus dans l'expression précédente.
Résolution d'un triangle spliérique dans lequel on connaît deux côtés et l'angle compris,
224. Première solution. — Soient a elb les côtés donnés, C Tanglc donné. On a, par les formules de Népcr,
/ „ A — B\ 1 -I- tanff-i-rtcot|ô i
tang oo» H =: ^ f- tang-C,
°\^ 2 / I — tang|«cotl6 ^2 •
/ ,, A-{-B \ I —tangua tang j 6 i^
tang go'— - • = 5J EJ^ tancr-C,
""V^ 2 y i-htangifltangi6 ^a '
