CHAPITRE PREMIER

il vient

2sin-

h . / h\ , I h\ - cosa = sm ( fl + - j — sin ( a J >

(fl + A ) := Sin ( « H ] — SID I û H H

, h , ,.x . / 5A\ . / 3A\ 2sin-cos(a -t- 2^) == sm ( a H | — sm \a-\ h

. h 2 sm - cos

-cos[flH- \n — iJ^J = sml a H h 1 — sml «H ny

Ajoutant ces égalités membre à membre et faisant les réductions, il vient

2sin-jcos«-hcos(a4-^)-4-cos(fl + 2A)-l- . . . + cos[^i-f-(/î— -i)A] j

:sin

(a+^^'Â)-sm(«-^),

<i*où

cosfl -h cos (a -4- A) 4- ... -4- cos[fl -^[n — i)^]

. / o.n^ I A . / ^\ sm 1 « -f- — h\ — sm I û 1

2sm -

enfin, en transformant le numérateur du second membre en produit de sinus et cosinus, par les formules du n° 18, on a

cosa -*-cos(« + ^) H- cos (a -f- 2A)-t- ... H- cos[a -t-(/i — i)A]

, nh l /z — I \ sm — cos I a H h \

sm-

Si dans cette formule on change a en a, et A en — A,

il vient

8ina-4-sin(a + ^) -h sin(fl + 2A) + . . . -»-sin[a -h(/i — i)A]

, nh . l n — I , \ sm — sm ( a H h

sm-

Les deux formules précédentes donnent des expressions trèssimples pour la somme des cosinus de n arcs en progression arithmétique, ainsi que pour la somme des sinus de ces arcs.

Multiplication des arcs,

21. Expressions de sin 2 a et de cos 2 a en fonction de sîna ou DE cos a. — Si, dans les formules

j sm(a -+- 6) = sinflcosè H- cosasin6, ( cos(<2 -t- ^) = cosflcosè — sin a sin ^,

on fait i = a, il vient

sin 2 a = 2 sin a cos «,

cos 2 a =: cos'û — sin'tt.

Ces formules (2) font connaître les valeurs de sin2aetde cos 2a en fonction de sina et de cosa. Si l'on veut les exprimer en fonction de sîna ou de cos a seulement, on devra remplacer cos a par ^i — sin' a, ousinapary/i — cos' a j on obtient ainsi

, V ( sin ia = ±2sîna^i — sin*a = =b2Cosa^i — cos*fl, ( cos2a = I — 2sin'a = 2cos*a — u

Il importe de remarquer que cos 2 a s'exprime ralionnellement en fonction de cos a ou de sin a, tandis que sin 2 a est une fonction irrationnelle de sin a ou de cos a. H résulte de là que, si Ton connaît la valeur de sina ou de cosa, cos 2a est entièrement déterminé, tandis que la valeur absolue de sin 2a est seule déterminée. Nous allons donner la raison de ce fait.

Supposons d'abord que la valeur de sina soit connue, et

posons

sina = ^;

l'arc a est indéterminé, et ses valeurs, en nombre infini, sont données (n® 9) par les formules

fl = 2/*7r-f-a, « = (2^-+-l)7r — a, |

où a désigne un arc déterminé ayant b pour sinus. D'après