CHAPITRE PREMIER

cela, les valeurs de sin2a sont données par les formules

sinaa = sin(4^*7r + 2a) = sinaa,

sin2a =^ sin(4X'7r -H 27r — 2a) = — siii2a;

et celles de cos 2 a sont

C0S2a = cos(4X'îr + 2a)=:COS2a, C0S2a = cos(4 A-TT + 27r — 2a) = cos2a.

On voit par là que sin2a est susceptible de la double valeur ± sin2â(, tandis que cos 2 a n'a que la seule valeur cos 2a.

La même chose a lieu si c'est la valeur de cos a qui est connue. Soit

cosa= bf

et désignons par a un arc déterminé ayant b pour cosinus , les valeurs de a sont données par la formule

a =z 2Aitzh a;

par suite, celles de sin2a et de cos 2 a le sont par les suivantes :

sin2a = sin(4/*îpdl 2a) = dzsin2a,

C0S2a = cos(4^'7r=t 2 a) = cos 2a;

sin 2a a donc deux valeurs égales et de sigues contraires, tandis que cos 2 a n'en a qu'une seule.

22. Expressions de sin 3 a et de cos 3 a en fonction de sin a ou de cos a. — Si, dans les formules (i), on fait i = 2a,

On trouve

sinSa =: sinacos2a H- cosasin2a,

cosS a = cos flcos 2a — sina sin 2 a ;

en remplaçant sin 2 a et cos 2 a par leurs valeurs tirées des équations (2), on trouve

- I sîn3a = Ssinûcos'a — sin* a,

I cos3a =: cos^a — 3 sin^acosa,

formules qui font connaître sin 3 a et cos 3 a en fonction de sÎTia et de cosa. En remplaçant, dans la première, cos'a par

I — sin*a, et dans la seconde sin'a par i — cos'a, il vient sin3a= 3sina — 4^^^'^»

f cos3û = 4cos*a — ocosa.

On voit que sin3a et cos3a sont exprimables rationnellement, le premier en fonction de sina, le second en fonction de cosa; au contraire, sin3a est une fonction irrationnelle de cosa, et cos3a une fonction irrationnelle de sina. Il résulte de là que, quand on donne sina, sin3a est entièrement déterminé, tandis que la valeur absolue de cos3a est seule déterminée 5 au contraire, si Ton donne cosa, cos3a est déterminé, mais sin3ane l'est pas. On peut montrer qu'il doit en être ainsi, par des considérations analogues à celles dont nous avons fait usage au n° 21 , et qu'il serait superflu de reproduire ici.

23. Si Ton connaît les valeurs de sin{m — i)a et de cos(/72 — i)aen fonction de sina et de cosa, on aura celles de sinma et de cosma, en posante =. (m — i)a dans les équations (i), qui deviennent alors

sinma = sinacos(m — i)a-\- cosasin(m — i)a, cosma rzrcosacos(m — i)a — sinasin(m — i)a,

et en remplaçant sin (m — i)a et cos(/w — î)a par leurs valeurs connues. On comprend comment on pourra calculer de proche en proche, par cette méthode, les valeurs de sin4a et de cos4a) de sin 5 a et de cosSa, . . ., en fonction de sina et de cosa. Mais nous ne pousserons pas plus loin les calculs^ nous donnerons d'ailleurs, dans la suite, une méthode générale pour former directement les valeurs de sinma et de cos/na, quel que soit l'entier m,

24. Expressions de tangaa et de tang3a en fonction de tanga. — Si, dans la formule

f£:\ * ^ . /x tanga -+-tang^^

(6) tangf a + /->) = ^'

^ ' b\ T^ ; I — tangatang//