Expressions de sin-a et de cos- a en fonction de sina

— Si, dans les formules ( i ) , on remplace cos a par ±sj i — sin'a,

il vient

cos- ■ '

. I , . / iqp i/i — sm'fl sm - a = zL \/ ^^ ^ -,

mais on peut arriver à des résultats plus simples. En effet, des deux formules

2 sin — fl cos - a = sm «, cos' - a h- sm* -a =z\. 22 22

on déduit, par addition et soustraction,

cos - a -f- sm - a ) = i -f- sin«,

( ces -a — sm - flj =1 — sm <2,

d'où

cos - rt + sm - a = ziz i/ 1 -f- sina, 22^'

cos - a — sin - a = zii v' I — sin^, 22^

et, par conséquent^

Icos-« = dLi-(v/i + sinûzh y/i — sina), 2 2

sin-« = dt-(y/i -t- sin^qi ^i — sina).

Dans ces deux formules, les signes supérieurs ou inférieurs,

hors des parenthèses ou dans les parenthèses, se correspondent-, mais dans chacune d'elles le signe hors des parenthèse.^ est indépendant de celui qui se trouve dans la parenthèse.

On trouve ainsi quatre valeurs pour cos-a et quatre pour sin - a *, et il est remarquable que les valeurs de cos - a soient

précisément les mêmes que celles de sin -a. Pour expliquer

ce résultat, soient b la valeur donnée de sin a, et a un arc déterminé ayant b pour sinus \ les valeurs de a étant données par les formules

les valeurs de cos -a et de sin -a sont

cos - az=z cos A-TT H — a 1 > cos - a = cos att H a ) f

sin - a = sin ( / tt H — a U sin - a :=z sin ( X'tt H a | •

Si Ton prend pour h un nombre pair, ces formules deviennent

1 I I /tt I \ . I

cos - fl =: cos - a, cos — az=z cos a = sm - a,

.1 .1 .1 . /tt I \ I

sin - « = sm - a, sm - a = sin 1 a i = cos - a ;

et, si Ton prend pour k un nombre impair, elles deviennent

1 /tt I \ .1 -a=z — cos 1 a ) = — sm - a,

. /tt I \ I

sm a r= — cos - a ;

d*où il suit que cos - a et sin - a ont chacun les quatre valeurs ± cos - a, zb sîn - a.

Si l'arc a est donné, on sait quels sont les signes de sin - a

cos - a == — cos - a, cos

sm - a = — sm - a, sm - a =