CHAPITRE PREMIER
on remplace a par -> il vient
COSa =r 4 COS* -x — 3 008 X J
ou, en posant
a cosa = ô, COS - r= or,
Cette équation est du troisième degré, et l'Algèbre apprend qu'elle a trois racines réelles. On peut démontrer ce fait comme il suit : a étant un arc déterminé dont le cosinus est b^ les valeurs de a sont données par la formule
a=z aX-TT dba,
et les valeurs de x le sont par la suivante :
où Ton doit donner à k toutes les valeurs entières positives, nulles ou négatives. Or, quel que soit /:, on peut écrire
l'étant Tun des nombres o, i ou 2; on a donc
mais les arcs
ont des cosinus qui sont égaux respectivement (n** 9) à ceux des arcs
a 9. ïT a ^Tt a
3' T"^3' T^3' donc X a les trois valeurs distinctes
et ne peut en avoir un plus grand nombre.
a COS ^5 COS
30. Équatiow dont dépend sin^ quand sîna est donné. — Si, dans la formule
sin 3a = 3 sma — 4 sin'a,
on met ^ au lieu de a, il vient
sma = 3 sm - — 4 sm 0»
et, en posant
on obtient l'équation
. . a sma = o, sm - r= ar,
qui se déduit de celle du n** 29 en changeant i en — b.
Pour savoir ce que représentent les trois racines de cette équation, soit a un arc déterminé ayant b pour sinus ; les valeurs de a seront données par les formules
a = 2^7r -4- a, a = (2/* -4- i)ir — a,
et celles de x par les suivantes :
Spît A = 3/1 -h i, i étant Tun des nombres o, i , 2 -, ces formules deviennent
ar = sm I 27i7r H ;.
a:= sm
Mais les arcs
Stt a tt a Stt a T~^ 3" 3'"3' T~ 3
ont respectivement (n^ 9) les mêmes sinus que les arcs
a 27r a An a 3' 3 3' 3 ^3'
CDÀPITRE PREMIER* 3*]
donc X a les trois valeurs distinctes
et ne peut en avoir un plus grand nombre.
31 . Equation dont dépend tang ^ quand tanga est DOim ée. — Si, dans la formule
- 3 tanga — tang*a
tang3a= ^.- -^— >
1 — 3 tang' il
on remplace a par ^> on obtient
3 tang-— tang» ^
et, en faisant îl vient
tanga:
I — 3tang'^
tanga = 0, tang- = a:,
3x — ar*
ou
ûc^ — 3 bx^ — 3a: -+- ô zrz o.
On voit que le problème dépend d'une équation du troisième degré. Pour savoir ce que représentent les racines de cette équation, soit a un arc déterminé ayant b pour tangente \ les valeurs de a seront données par la formule
a r= /'TT -4- a,
et celles de x par la formule
(An ol\
Posons /ir=3w-l-/, i étant l'un des nombres o, i ou 2^ la formule précédente devient
(fn a\ /in a\
d'où il suit que x a les trois valeurs
a [tz ot,\ /27r a\
tang^, tang(^5 + -j, tangj^-g- + ^j ,
et n'en a pas davantage.
Si la valeur donnée de b est infinie, l'équation en x se réduit à Téquation du second degré
