Théorème II. — L'excès d'un arc compris entre o et

— sur son sinus est moindre que le quart et même que le

sixième du cube de l'arc.

Pour démontrer que la différence dont il s'agit est inférieure au quart du cube de Tare, il suffit de considérer l'inégalité

tang->--

56 TRAlTfi DE TRIGONOMÉTRIE.

établie au n** 44 ; en la multipliant par 2 cos* - = 2(1 — sin* - j >

on obtient

sinar ^x — x sin' — ou ar — sina? <^ x sin' - ; 2 2

mais sin - est inférieur à - et, par conséquent, sin* - est infé-

rieur à -^ ^ on a donc, à plus forte raison,

46, Pour démontrer que la diflférence x — sînj: est inférieure à -^9 on peut employer divers procédés^ le plus simple consiste à prendre pour point de départ la formule sin3a: = 3sinjr — 4 sin*^^*

établie au n^ S2^ en y remplaçant x successivement par ^, â;' " • ' 0;' ^^ obtient

3sin "5 — smj? = 4sin ô»

Ssin ^ — sin ^ = 4sin*p»

3sin^-sin^ = 4sin»^;

en ajoutant ces égalités, après les avoir multipliées respectivement par 1,3,3*,..., 3"-*, il vient

3«8in ^^ - sin j: = 4 (sin* 3 -*- 3sin»p -h ... -4- 3— sin» ^ j

ou

sm —

X, -J— ~ sina: = 4 (sin* ^ -f- 3sia» ^ -f- . . . -ï- 3»-«sin» — J *