CHAPITRE DEUXIÈME. 5g
Construction d'une Table de sinus et de cosinus.
49. Pour avoir les lignes trigonomé triques d'un arc quelconque, il suffit de connaître celles des arcs compris entre o et 90 degrés. On peut même se borner aux arcs compris entre o et 45 degrés, car deux arcs complémentaires, tels que ^S^-h^ et 45** — X, ont les mêmes lignes trîgonométriques. En outre, si les sinus et les cosinus sont connus pour tous les arcs compris entre o et 45 degrés, les quatre autres lignes trîgonométriques pourront être déterminées au moyen de relations que nous avons établies au n° H.
Cela posé, nous allons montrer comment on peut construire une Table des sinus et des cosinus de tous les arcs de lo en 10 secondes, depuis o jusqu'à 45 degrés.
Sinus et cosinus de l*aiic de io secondes. — Désignons par e la longueur de Tare de lo secondes-, on aura (n° 48)
TOTT n
648000 64800 «tlon trouve, en effectuant la division,
On a ensuite (n° 45)
sme<t et sms^s — -^; o
<lailleurs
on a donc
sin 10" < 0,0000484813 681 10,
sin I o" >> o , 00004 848 1 3 68089.
des deux limites de sin 10'' ont les douze premières décimales communes, et Ton voit qu'on a, à moins d'iine demi-unité du ^eisûème ordre décimal,
sin I o" = o ,00004 848 1 3 68 1 .
6o TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.
Calculons maintenant cos lo''^ on a (47)
cose >> I et coss < I 1 7 ;
comme e est-cC'o.ooooS ou <^ :» on a
24^384.io'«^3.io'»'
d'où il suit que i est une valeur de cos s approchée à moÎM
d*une demi-unité du dix-huitième ordre décimal. En se bornant aux treize premières décimales, on trouve
cos lo'^ — 0,99999 99988 248.
50. Sinus et cosinus des arcs de 10 en 10 secondes, depuis o jusqu'à 45 DEGRÉS. — Si, daus les formules
sin (a -f- 6 ) -f- sin(a — h)=: 2cos6sina, cos(fl -h h) 4-cos(a — ^, = 2COS^cosâ,
on pose a=[m — ^)h^î\ vient
ûnmb r= 2C0SÔ sin(m — i) b — sin(m — 2)^,
( cos/nô r=: 2COsôcos(/n — \)b — cos (m — 2)0
En prenant i=:io^ et en faisant m = 2, ces formule^ donneront les valeurs de sîn2o^et de cos 20''. Et générale-^ ment, quand on connaîtra les sinus et les cosinus de deui^ multiples consécutifs de l'arc b = 10", les formules (i) feront connaître le sinus et le cosinus du multiple suivant. Mais oa peut abréger les calculs en opérant comme il suit : le multiplicateur constant 2cosio^'^ diÛère peu de deux unités; en . posant
2 cos I o'' = 2 — /*,
on a
