CHAPITRE DEUXIÈME. 6l

€tles formules (i) deviennent

![8În mb — 8iD(i7i — i)^] = [sin [m — i)^ — sin (m ■— a")^] — A8În(m — i)*, [cosm^ — C08(m — i)^] = [co8(/n — \)b — cos(m — 2)^] — ^C08(m — 1) b.

Ces formules (2) serviront à calculer les diflférences \ ûnmb — sin(/w — 1)6,

( COS/72^ — C0S(W — l)Ô,

au moyen des dîflérences précédentes,

sin(m -- \)b — s\n[m — %)b^

\ cos(m — ijo — cos(m — 2)6,

qu'on a préalablement calculées, ainsi que sin (m — i)b et cos(w — i)b. Ajoutant ensuite respectivement aux différences (3) les valeurs connues de sin (m — i ) & et de cos (m — i ) i , on aura sinmé et cosmb.

Les différences (3) se déduisent facilement des différences calculées (4)", il suflSt, en effet, pour cela, de retrancher respectivement de celles-ci les produits Arsin(m — i) b et A:cos(/w — i)b dont l'un des facteurs est constant, et ces produits se calculeront assez rapidement, si Ton a eu soin de former une Table des produits de k par les neuf premiers nombres.

51. Quelque pénibles que soient les calculs dont nous venons d'indiquer la marche, on conçoit maintenant la possibilité de former la Table des sinus et des cosinus de tous les arcs de 10 en 10 secondes depuis o jusqu'à 45 degrés. Il y a lieu, toutefois, de rechercher quelle sera sur les divers sinus et cosinus calculés l'influence des erreurs qui ne peuvent manquer de s'accumuler dans le courant des opérations. Nous sommes partis des valeurs de sin 10" et de cos i o" calculées à une demionité près du treizième ordre décimal ^ nous supposerons que dans tous les calculs subséquents on conserve un nombre ^x de décimales 5 on verra quelle valeur il faut donner à ^x pour obtenir l'approximation que l'on désire. Nous désignerons

généralement par à„, la valeur approchée de sinm.io"ou de cosm. 10^^ calculée comme on va l'expliquer avec [à décimales, et par «,„ + €,„ la valeur exacte^ au moyen de cette notation, on peut écrire comme il suit Tune quelconque des équations (i),

Les valeurs a„,i et a,„.j ayant été calculées avec ^i décimales, on calculera le produit (2 — k) «„,i aussi avec [jl décimales et Ton retranchera a,„«j de ce produit approché 5 la différence sera a„,. On a donc

«yn " ( 2 — X- ) «„, — a^j —■ Cm,

en désignant par ^,„ Terreur positive ou négative que Ton commet en substituant à (2 — k)a,„^i la valeur approchée de ce

produit d — rprès. Des deux équations précédentes on déduit

«/!• = (2 — A) «;„, — g«2 + Km;

mais la quantité À'e„,i est très-petite par rapport à 2e^i el l'on peut la fondre dans ^« sans que la limite supérieure de cette dernière quantité soit altérée d'une manière sensible-, ainsi nous pouvons écrire simplement

ou

Faisant successivement m = 2, 3, . . . , m, et remarquant que 60 est nul, puisque aucune erreur n*est commise sur sino el sur coso, il vient

(sj— «,) — «, H-Çï,

(64 — 63)=: (63 — Sa) -hÇ,,

Ajoutant toutes ces égalités, il vient

. CHAPITRE DEUXIÈUE. 63

chacune des quantités ^i, ^3, . • • ^st moindre en valeur absolue que — ^y et il en est de même de leur moyenne arithmétique 5 en désignant par 0^ cette moyenne arithmétique, l'équation précédente devient

tn, — g«, = 8, -f- (m — i)^„; SI Ton donne à m les valeurs successives 2, 3, . . . , m, il vient

«« — e«-i = 6, -h (w — i)e«, et, en ajoutant,

£;„ = 772 s, -+-0,-4-203 + 304-+-. . .-4- ('W — l)0in.

Or la valeur absolue de €1 est <C y et la valeur absolue de

chacune des quantités 6,, 65,. • • ^^^ moindre que — j;^; d'ailleurs la somme I H-2-I-34-. . .-\-{m — i)estégaleà ;

donc on a, en faisant abstraction du signe de e«,

Cherchons, d'après cela, quelle peut être Terreur commise sur le sinus et le cosinus de Tare de 45 degrés dont le calcul termine la série des opérations. L'arc de 45 degrés contenant 16200 fois Tare de 10 secondes, faisons m = 16200 : l'inégalité précédente devient

et ron aura, à plus forte raison,

64 TRAITS DB TRIGONOHÉTRIB

Si l'on p et Ton a

Si l'on prend /x = 17, la seconde fraction devient égale à -^1

ainsi Terreur commise sur sîn45** ou sur cos 45° sera moindre que le quart d*une unité du huitième ordre décimal.

Il résulte de ces développements qu'en partant des valeurs de sinio'^ et de cos 10'^ obtenues à une demi-unité près du treizième ordre décimal, et en calculant avec 17 décimales les sinus et les cosinus des arcs suivants, on pourra certainement compter sur 8 décimales exactes jusqu'à l'entière terminaison de la Table.

52. Mais quand il s'agit d'exécuter tant de calculs, il est indispensable de soumettre les résultats obtenus à des vérifications fréquentes. Aussi, avant de commencer les opérations, doit^n calculer directement les sinus et les cosinus d'un certain nombre d'arcs, afin d'avoir plus tard des termes de comparaison en nombre suffisant; par exemple, nous avons donné (n°* 37 et 38) les expressions des sinus et des cosinus des

multiples de ^» c'est-à-dire des arcs de 3 en 3 degrés 5 il sera

convenable de calculer ces sinus et ces cosinus avec un nombre suffisant de décimales 5 si l'intervalle de 3 degrés parait trop considérable, on pourra le réduire à la moitié ou au quart, en se servant des formules

I /i — cosa I /i

i - a = 4 / , cos - fl = 4 / —

• cosa

et de celles qui sont relatives à l'addition et à la multiplication des arcs ; on pourra ainsi très-àisément construire une Table préliminaire très-exacte contenant les sinus et les cosinus des multiples de 45 minutes ou 2700 secondes. Cette première Table n'aura pas seulement l'avantage de fournir des moyens de vérification, mais elle permettra aussi d'obtenir une plus grande exactitude dans les calculs relatifs à la Table défini-