CHAPITRE DEUXIÈME

tîve, parce que de 2700 en 2700 secondes les sinus et les cosinus pourront être connus avec toute la précision que Ton voudra. Enfin, lorsque la Table entière est construite, on peut encore la vérifier d'autant de manières que Ton voudra au moyen de la formule identique

sin(90** — .r) -h sin(i8*» — a:) -4- sin(i8'' -4- -c) = sin(54" — .»?) -f- sin(54** -+■ J^),

établie au n*' 40, et au moyen d'autres formules du même genre.

Bien qu'on puisse construire la Table entière par le procédé du n° 50, on doit s'arrêter dès que Ton est arrivé à l'arc de 3o degrés. Effectivement, lorsqu'on aura calculé les sinus et les cosinus des arcs de 10 en 10 secondes, depuis zéro jusqu'à 3o degrés, on pourra obtenir les sinus et les cosinus des arcs compris entre 3o et 45 degrés, par la simple soustraction.

En effet, en se rappelant que sin3o° = > on a {n° 18)

sin(3o" -f- j?) -f- sin(3o® — .r) =: cosj:, cos(3o° — a:'j — cos(3o° -hx) = sin:r,

d'où l'on tire

sin ( 3o" -\- x)=z cos j: — sin ( 3o" — x), cos(3o** -\-x) r=:cos(3o°-^ j:] — sinx;

ces formules permettent d'obtenir, par un calcul facile, les sinus et les cosinus des arcs au-dessus de 3o degrés, lorsque l'on connaît les sinus et les cosinus des arcs au-dessous de 3o degrés, et leur emploi diminue notablement le travail de la construction de la Table.

Le procédé que nous avons exposé est celui qu'ont employé les savants à qui l'on doit la première construction des Tables de sinus et de cosinus. L'analyse a fourni depuis des métliodes beaucoup plus expéditives pour remplir cet objet 5 ces méthodes consistent dans l'emploi des différences, et elles re-

Trig. S. 5

66 TRAlTfi DE TRIGONOMÉTRIE.

posent sur les formules qui expriment le sinus et le cosinus en fonction de Tare. Nous établirons ces formules dans le Chapitre V.

Tables des logarithmes des fonctions circulaires.

53. Dans les applications numériques, on opère toujours par logarithmes : aussi a-t-on bien plutôt besoin de connaître les logarithmes des sinus, des cosinus, etc., que ces lignes trigonométriques elles-mêmes. Or les sinus et les cosinus des arcs de lo en lo secondes ayant été calculés, on pourra former la Table de leurs logarithmes. Cette Table une fois construite, on formera celle des logarithmes des tangentes et des cotangentes au moyen des formules

log tango: = log sina: — log cosa:, log cot.r =: log cosx — log sina:.

Quant aux sécantes et aux cosécantes, elles ne sont point employées-, d'ailleurs leurs logarithmes sont égaux et de signes contraires aux logarithmes des cosinus et des sinus (*).

Les Tables de logarithmes des sinus, cosinus, etc. les plus usitées sont celles de Callet ; nous allons en indiquer la disposition et l'usage, mais nous avons auparavant une remarque importante h faire.

Les sinus et les cosinu^ des arcs de zéro à 90 degrés, les tangentes des arcs de zéro à 45 degrés, et les cotangentes des arcs de 43 à 90 degrés sont inférieurs à i, en sorte que leurs logarithmes sont négatifs. On a voulu éviter, dans les Tables de Callet, l'emploi des caractéristiques négatives, qui est pourtant préférable, et Ton a ajouté 10 à tous les logarithmes négatifs 5 il faut donc toujours avoir soin de supprimer ces • 10 unités.

(*) On trouvera dans le Chapitre V les formules au moyen desquelles on peut calculer directement, et avec Tapproximation qu'on désire, les logarithmes des sinus, des cosinus, des tangentes et des cotangentes de tous ks arcs.