CHAPITRE DEUXIÈME

i^ Troui^er l'arc dont le log tang est 0,747^53 a.

Logtango; = 0,7476532

Pour 0,7475657 79°5i'4o" A = 1215

A'Xio 8750 7",2

4*^ Trouver l'arc dont le log cot est 0,3660760.

Logcot^ = 0,3660760

Pour 0,3660892 23"i7'20*' A = 580

A'xio i32o 2^,28

TROISIÈME CAS. — Si les différences des Tables varient trop, la marche qu'on vient d'indiquer cesse d'être applicable. Le cas dont il s'agit se présente lorsqu'on a à déterminer un trèspetit arc par son log sin ou par son log tang; voici comment il faut alors opérer. On cherchera dans la première partie de la Table le logarithme qui s'approche le plus du logarithme donné, et l'on réduira en secondes les degrés et les minutes de lare correspondant; désignons par a le nombre de secondes ainsi obtenu et par a H- A le nombre exact de secondes contenues dans l'arc inconnu-, on déterminera a -h A par l'une des deux équations

log(a -r A) = log sin [a -^ h) — log sin a 4- loga, log (a -\-h)=z logtang(a -t- h) — logtanga -+- loga,

T*^e nous avons déjà mentionnées en traitant du problème inverse de celui qui nous occupe.

Veut-on, par exemple, le nombre des degrés, minutes, etc., deVarc dont le logarithme du sinus est 3,0022893; on trouve que le logarithme tabulaire qui approche le plus de ce logarithme est 3,ooi54oiou — 2,9984549^ et ce logarithme répond à l'arc de 0° 3' a 7^' ou de 207 secondes ; le logarithme de 207 est 2,3 1 59703 ; ajoutant ensemble les trois nombres 3,0022893*, 2,9984449^ 2,3 159703, on a pour somme 2,3167145. Ce

logarithme répond au nombre 207,355; Tare cherché est donc 207'^355,ouo«3'li7^355.

On opère de la même manière pour déterminer un trèspetit arc quand on connaît le logarithme de sa cotangente, puisque ce logarithme est égal et de signe contraire à celui de la tangente.

Mais, lorsqu'il s*agit de déterminer un très-petit arc par le moyen du logarithme de son cosinus, il est impossible de le faire avec précision. Veut-on, par exemple, connaître Tare dont le cosinus a pour logarithme i ,9999991 , la Table montre que ce logarithme répond à tout arc compris entre 6' 4 5" et ^* iV \ l'arc demandé ne peut donc être obtenu qu'avec une incertitude de 4o secondes.

57. La solution des deux problèmes dont nous venons de nous occuper repose sur l'égalité approximative

posons

(-2) L =1 — ±c, h=. zhe,

e et e mesureront les erreurs commises en appliquant la formule (i) dans le calcul de A' (premier problème) et dans le <;alcul de h (deuxième problème). Or on démontre, par des considérations qui ne peuvent trouver place ici, que e est toujours moindre qu'une unité du septième ordre décimal si l'arc dont on calcule le log sin ou le log tang surpasse une certaine limite inférieure à 5 degrés, et que la même chose a lieu, par suite, si l'arc dont on calcule le log cos ou le log cot est supérieur à 85 degrés. L'emploi de la formule (i) est donc légitime, entre ces limites, dans la solution du deuxième cas du premier problème. On démontre aussi que l'erreur e relative au deuxième problème est plus petite qu'un centième de se- <îonde, si l'arc que l'on calcule diiïère de zéro ou de 90 degrés d'une quantité plus grande qu'une certaine limite inférieure à 1 I degré, et que cette erreur c devient absolument insen-

GBAPITRE DEUXIÈME. 77

sible si Tare que Ton calcule s'écarte de quelques degrés des limites zéro et 90 degrés -, d'où il suit que Temploi de la formule

loA'

est légitime dans la solution du deuxième cas du deuxième problème entre les limites que nous venons d'indiquer (*).

Mais Terreur commise dans le calcul de h ne provient pas seulement de la quantité e que Ton néglige \ les logarithmes dont A et A' expriment les différences sont affectés d'une certaine erreur-, et si cette erreur reste au-dessous d'une demiunité du septième ordre décimal pour les logarithmes de la Table, elle peut être beaucoup plus considérable pour le logarithme donné, qui le plus souvent est le résultat d'opérations exécutées sur des nombres qui ne sont connus qu*approximativement. Admettant, par exemple, que l'erreur de ù! soit d'une unité de l'ordre du dernier chifl're, Terreur de A,

(*) Si Ton désigne par M le module des logarithmes vulgaires, et par 6 un nombre compris entre zéro et i, on a, d'après une formule connue (celle de Taylor), en prenant la seconde pour unité,

, , fx 1 . «. f . „ cos.r „ ôA'sîn'i" 10ff8in(j:-h Aj— log8inx= MAsini" -: M ^—z — •

Désignons par A la valeur du premier membre pour h = 10, et par A' la valeur de ce premier membre pour A < 1 ; appelons aussi d- la valeur que prend pour ^ = 10 et faisons

. AA . . loA'

A' = — ûze. hz=z ih e :

on déduit de la formule précédente

^ Msin'i", -., ^,,. , (loS- — ôA)Asin''

asin'u: ^ ' Sin2J: — dhsiux'

h étant inférieur à 10, la valeur absolue de 10 3^ — Oh est aussi inférieure à lo;

on a donc

SoMsîn'i" loosini"

8in*j: smix — losini"

An moyen de ces résultats on peut vérifier la légitimité de nos assertions, pour ce qui concerne les logsîn etleslogcos; on déduit ensuite immédiatement delà que ces assertions sont vraies aussi à l'égard des log tang.

78 TRAITÉ DR TRIGOMOMÉTRIR.

en négligeant celle de A, sera - 10"^ d*où il suit que la précision obtenue dans le calcul d*un arc sera d'autant plus grande que les différences tabulaires seront elles-mêmes plus grandes. Or la différence de deux logtang est la somme des différences des log sin et des log cos correspondants (*} •, donc un arc est toujours mieux déterminé par sa tangente que par son sinus ou son cosinus. A 45 degrés, point du premier quadrant où la tangente donne la plus faible précision, la différence tabulaire de ses logarithmes est de 4^1 unités du septième ordre décimal pour une variation de 10 secondes dans l'arec d*où Ton conclut qu'une erreur d'une unité du septième ordre dans le logarithme de la tangente correspond alors à une erreur de o'',o24 dans l'arc. Une même erreur dans le logarithme du sinus ou du cosinus correspondrait à une erreur double, c'est-à-dire à o",o48. Pour des arcs petits, les différences des log cos sont très-petites, et, par suite, les différences des log sin sont à peu près égales aux différences des log tang ^ il s'ensuit qu'un petit arc ne saurait être donné avec précision par son cosinus, ainsi que cela a déjà été dit plus haut; au contraire, il est également bien déterminé par son sinus ou par sa tangente. Concluons de là que dans les solutions trigonométriques on devra rechercher autant que possible l'emploi des tangentes et rejeter avec soin l'emploi des cosinus, pour la détermination des petits arcs.

Procédés pour rendre une formule calculable par logarithmes,

58. Pour que l'on puisse appliquer immédiatement le calcul des logarithmes à la détermination de la valeur d'une ex-

( * ) La différence

log tang ( j: -*- A ) — log tang j?

est évidemment la somme des deux différences

log sin (a: H- A ) — log sin a:, log cos a: — log cos {x-^hy