CHAPITRE TROlSitMB
d'où, en divisant membre à membre,
rr = tangC et c=z btangC,
ou
c =1 b cotB.
Remarque. — Il ne saurait exister entre les angles et les
côtés d'un triangle rectangle une relation distincte des trois
suivantes ;
c = asinC, b =1 acosC;
car s'il j en avait une, en y remplaçant c, i et B par leurs valeurs a sinC, a cosG et 90° — C, on aurait une équation non identique entre a et C, ce qui est absurde.
En ajoutant les deux dernières des relations précédentes, après les avoir élevées au carré, on obtient la relation connue
Relations entre les angles et les côtés d'un triangle obliquangle.
68. Théorème I. — Dans tout triangle rectiligne, les côtés sont proportionnels aux sinus des angles opposés.
Soit ABC {fig- 10) un triangle dans lequel les angles B et C sont aigus \ abaissons du sommet A la perpendiculaire AD sur
Fiîj. 10.
Ja base BC : le point D tombera entre les points B et C, et les triangles rectangles ABD et ACD donneront (n°67)
AD = csinB, AD=:^sinC,
96 TRAITÉ DE TRIGONOMÊTRIB.
d'où
csinB = osinC ou
sinB siaC
Sî Tun des angles B ou C est obtus [fig- 1 1), C par exemple, le pied de la perpendiculaire AD tombe sur le prolongemcni
de BC, et comme deux angles supplémentaires ont le même «inus, les triangles rectangles ABC et ACD donnent encore
AD =: c sinB = b sinC,
d'où Ton conclut que la formule précédente est générale.
69. On a, d'après ce qui précède, les trois relations suîvantes entre les angles et les côtés d'un triangle :
( sinA sinB sinC'
-et je dis qu'il ne saurait exister une autre relation distincte de celles-ci. En effet, on tire des équations (i)
o « T> ^ » «sinB flsinC A = i8o°— B— G, ^>=-^-— --5 c=-T-7z: -t;
sm(B-f-C) sin(B-{-C)
cela posé, s'il existait entre les angles et les côtés une relation distincte des relations (i), en y mettant, au lieu de A, i, c, les valeurs que nous venons d'écrire, on aurait une équation non identique entre le côté a et les deux angles adjacents^ B et C, ce qui est absurde.
Mais on peut déduire des équations (i) d'autres relations importantes qui constituent autant de théorèmes-, nous commencerons par démontrer directement ces théorèmes, et nous
