CHAPITRE TROISIÈME

72. Pour déduire les équations (3) des équations (a), ajoutons les deux premières équations ( 2 ) ; il vient, après les réductions,

c=ia cosB -f- b cosA.

C'est l'une des équations (3) , on obtiendrait les deux autres de la même manière.

Réciproquement, pour déduire les équations (2) des équations (3), ajoutons les équations (3), après les avoir multipliées respectivement par a, i, — c^ il vient

c' = «' -f- b^ — 7.ab cosC.

C'est l'une des équations ( 2 ) ^ on obtiendrait de même les deux autres.

U résulte de là que les systèmes (2) et (3) sont équivalents-, nous allons indiquer comment on peut déduire Tun de ces systèmes, (3) par exemple, des équations fondamentales (i).

La première équation ( i ) donne

d'où

sinC = sin(A 4- B) = sinAcosB H-sinB ces A;

si l'on remplace sinA, sinB, sinC par les quantités proportionnelles a, i, c, il vient

c = a cosB -h b cosA.

C'est l'une des équations (3 ) *, on obtiendrait de même les deux autres.

Je dis enfin que les équations (i) peuvent se déduire des équations (2) ou (3), si l'on fait la restriction que la somme A-+-B -h C n'excède pas 180 degrés. En effet, on tire de la première des équations ( 2 )

ibc

^a* --b* -^c* -h ia^b^-{- 7.à*c* -\- 9.b^c^

par suite,

sin'A — û* — ^< — c^ -h 2a'è' H- 2fl'c' -f- nb^c^

cosA=:

sin» A =

<;^«i»nnn^sî.

lOO TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

On trouverait évidemment la même valeur pour -— - et pour

sin'C ,, . V sin*A , ,

— ^^ car l expression obtenue pour — j— ne change pas quand

on change les côtés a, i, c les uns dans les autres ; si donc on sait que A, B, C sont moindres que 180 degrés, leurs sinus étant positifs, on peut écrire

sînA sinB sinC

En second lieu, on peut éliminer a, i, c des équations (2) ou (3), car ces équations sont homogènes; si Ton élimine deux des trois côtés, le troisième disparait aussi, et il vient

cos*A -h cos^B -\- cos*C -h 2 cosA cosB cosC — i =r o ou

(cos A-f- cosB cosC)'= I — cos'B — cos'C -+-cos'B cos*C=: sii.* B sin'G,

ou, en extrayant les racines carrées,

cosAr= — cosB cosC=iisinBsinC= — cos(B=lzC);

doù

A zL B =h C = i8o«X (2^ -f- 1),

k étant un entier. Et si la somme A -{-B-J- C n'excède pas 180 degrés, on a nécessairement

autres formules relatives aux triangles obliquangles,

73. En transformant les relations précédentes, on obtient de nouvelles formules qu'il est utile de connaître et que nous allons établir.

Des relations fondamentales

sinA sinB sinC

on déduit

a-\- b sinA-t-sinB 2 sin|(A + B) cos|(A — B)

c sinC 2sin|CcosjC

a — b sinA— sinB ___ 2cosj(A4-B) sia|(A — B) c "" sinC "~ 2smjCcosjC '

CHAFITRB TROISIÈME. ^^^

OU, à cause de - ( A H- B) = 90*^ C,

a-f.^^ cosl(A--B) g— 6 sin|(A — B) ^ ^'^ c •" sinlC ' c •" cos^C '

et, en divisant ces équations (i) Tune par Tautre, il vient

{2) taDg i (A — B) = ^—^r cot - C.

Les formules (i) renferment les six éléments, maïs la formule fa) ne contient que deux côtés et les angles.