Aire DU triangle. — Soit un triangle ABC (^g

abaissons du sommet A la hauteur AD : on a, en désignant par s Taire du triangle,

5 = - a X AD.

Mais le triangle rectangle ADC donne AD = 6sinC5 on a donc

(i) j=:-aèsinC.

Ainsi l'aire d'un triangle est égale à la moitié du produit de deux côtés multiplié par le sinus de l'angle compris entre ces côtés.

En appliquant cette proposition aux quatre triangles dans lesquels un quadrilatère peut être décomposé par le moyen de ses diagonales, on obtient le résultat suivant :

L'aire d'un quadrilatère quelconque est égale à la moitié du produit des diagonales multiplié par le sinus de l'angle qu elles forment entre elles.

Si dans la formule (i) on remplace b par sa valeur tirée de Téquation

h sinB sinB

a sinA sin(B-4-C) il vient

. I â'sinBsinC

104 TRAITÉ DE TBIGONOHfiTRIB.

Enfin, des équations

•^ï<==/£=^i£^. co.ic=/^^:

établies au numéro précédent, on déduit

8bc = 2 sin I c cos ■!■ c = 2 ^SEfEZEmZEii,

2 2 ab

et, si l'on remplace sinC par cette valeur, dans la formule (i), il viendra

(3) s= yip(p^a)(p—b){p — c),

formule où p désigne le demi-périmètre — •

De cette formule et de celles qu'on a établies au n*' 74, on déduit les résultats suivants, qui méritent d'être remarqués :

. 1 . . î „ . I ^ ip — a)(p — b)(p — c) s*

sm - A sm - B sm - C = ^-^ ^-^^--7 — — ^ = — ,-»

22a abc pabc

cos-LAcosiBcosic=^^^5Zf)l4^IÏ(ZEfi= 4, 2 2 2 abc abc

tang - A tang - B tang - C = - •

76. Raton du cercle circonscrit. — Ayant circonscrit un cercle au triangle ABC (Jig» 18), menons, par le sommet C, le

diamètre CD = 2R, et joignons BDj l'angle en D du triangle rectangle BCD est égal à A ou au supplément de A : on a donc

a=:2RsînA ou R = — 7—:* asmA