Rayons des cercles inscrit et exinscrits. — Soit rie

rayon du cercle inscrit 5 en joignant le centre de ce cercle aux

trois sommets, on décompose le triangle en trois autres ayant

pour hauteur commune r, et pour bases les trois côtés a, i, c

, a -h b ^c respectivement^ on a donc s = r ? ou

s /(p — a){p'-' b) (p — c) s=:p/\ et r^= - = i/ — '-^ ^-^ ^.

Si l'on désigne par a, 6, y les rayons des cercles exinscrits au triangle, c'est-à-dire des cercles qui touchent respectivement les côtés a, i, c et les prolongements des deux autres, il •est aisé de voir que l'on a

s = {p — a) OL = (p "^ b)^ z=: {p — c)y,

<l'où l'on tire

i. : ./ pip — '')iP — ^) p — C V P — ^

On peut aussi écrire (n*' 74)

a=/?tang-A, 6=/7tang-B, 7=/?tang-C.

De ces formules on peut en déduire plusieurs autres, parmi lesquelles on doit remarquer les suivantes :

'o6 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

Résolution des triangles rectangles.

78. Premier cas. — Étant donnés l'hypoténuse a et m angle aigu B, calculer l'angle C et les deux côtés b et c.

Les éléments inconnus se détermineront par les formules

Crrrgo" — B, 6=r«8inB, C = fl cosB.

La première fait connaître immédiatement C, et les deux autres donnent pour le calcul logarithmique

\oQb = loga -f- log sinB, loge = loga -h logcosB.

79. Deuxième cas. — Étant donnés l'hypoténuse a et un côté b de l'angle droit, calculer le troisième côté c et les deux angles B et C.

On a, pour déterminer les éléments inconnus,

sinB = cosC = -, c^ = a^ •— b^ z= (a '\- b) {a — b).

La détermination directe de Tangle C s'obtient, comme on voit, par un cosinus, et ainsi elle ne sera point susceptible d'exactitude, si l'hypoténuse du triangle diilere peu de son côté, comme cela arrive fréquemment. Dans ce cas, on peut commencer par calculer c, et Ton obtiendra ensuite G par h formule

tangC==|-,

on aura ainsi, pour le calcul logarithmique,

logc=: - [log (a -f- ^>) -4- log(a — b)], logtangC = loge — logé.

On peut aussi calculer C directement comme il suit. En remplaçant cosC par sa valeur - dans les formules

• ^n ^/i— cosC ^ i /i — cosC

sm -C= 4/ , tang- C = 1/ ^r.

2 Va 2 V 1 -f-cosC