CHAPITRE TROISIÈME

Désignons par ip le périmètre a + i-H-^-H^, on aura « -h i -f- c — d= 2{p — rf) , . . . et, par suite,

^Z),^l^=JiE^P^\ eosiB = i/(^^^).

' 2 V ab -h cd 7. V ab -hcd

En divisant ces formules (3) Tune par Tautre, on obtient la suivante :

qui est calculable par logarithmes. On aura de même, pour calculer l'angle A,

(5) tangiA=t/>~4)-;^----^).

Les angles du quadrilatère étant connus, on aura les diagonales par Tune des méthodes du n^ 87. Quant à la surface 5, elle est la somme des surfaces des triangles ABC et ADC; on a donc (n*' 75)

s=z . (ûè 4- cd) sinB;

^^ïi a d'ailleurs, en multipliant les équations (3) Tune par 1* autre,

ab -\- cd ^

.onc

Si Ton suppose que le côté d se réduit à zéro, cette formule donne celle qui exprime Taire du triangle en fonction des trois côtés.

Si Ton veut calculer directement les diagonales x et j-, on portera dans Tune des équations (i) la valeur de cosB tirée de Téquation (2)^ il vient alors

^ cd{a^ -f- b^) H- ab [c^ + d^) ab H- cd ou

{ac+bd)[ad-^bc) ^

^'^ ^~ ab + cd '

1^4 TRAITfi DE TRIGONOMÉTRIE.

on aurait de m^me

/ox , {ac -^ bd]{ab -\-cd) ^

mais ces formules (7) et (8) ne sont pas calculables par logarithmes.

En multipliant et en divisant les équations (7) et (8) l'unepar l'autre, on a

(9) -^r = ac-\-bd, - = -— - — - ,

y ab -^ cd

formules qui expriment deux tKéorèmes connus de Géométrie» On peut enfin exprimer le rayon R du cercle circonscrit ea fonction des quatre côtés. On a, en effet (n*' 76),

2 smB d'où

, , sl[ac-\'bd)(ab -\- cd]{ad-\- bc\

^Sl{p — a)[p — b)(p-c)[p — d)

Opérations sur le terrain,

98. Triangulation. — Lorsqu'on veut exécuter avec quel-^ que précision le plan d'un terrain, d'une ville, etc., il est indispensable d'appuyer le le\^é sur une triangulation calculée. On nomme ainsi l'opération par laquelle on détermine les valeurs de tous les éléments d'une suite ou d'un réseau detriangles juxtaposés et rattachant les uns aux autres des pointsclioisis à volonté sur le terrain. Toutefois, lorsque le terrain n'est pas parfaitement horizontal, ce qui est le cas le plus ordinaire, il faut imaginer que le réseau soit projeté sur un plan horizontal situé au-dessous 5 ce sont les éléments de cette projection, ou, comme l'on dit, du réseau réduit à l' horizon, qu'il est important de coiinaitre et que l'on détermine.

Tous les angles des triangles sont mesurés par le moyen^ d'un instrument, le graphomètre, ou mieux le théodolite,. qui donne les angles tout réduits à J 'horizon. Mais une seule ligne est mesurée directement à l'aide de la chaîne d'arpen-