log sin C — log sin At

CUAPITRE TR0ISIÈ3IB. l33

Remakque. — Il est nécessaîre, comme nous Tavons dit, de mesurer directement l'angle ACB ; car cet angle n'est égal à la différence des angles ACD et BCD que dans le cas très-particulier où les quatre points A, B, C, D sont dans un même plan.

104. Problème VI. — Par un point accessible sur un terrain uni, tracer une droite parallèle à une droite inaccessible.

Soient (Jig- ^5) C le point accessible et AB la droite inaccessible ^ on opérera comme dans le pi oblème précédent, pour

Fig. 2j.

calculer l'angle CAB. Cet angle étant connu, on disposera un graphomètre en C, de manière que le diamètre du limbe soil dirigé vers CA, et Ton fera mouvoir Talidade jusqu'à ce que l'arc du limbe, compté à partir du diamètre, soit égal au supplément de l'angle CAB-, enfin on tracera un alignement, avec des jalons, dans la direction de Talidade,- et Ton aura la ligne demandée CE.

i05. Problème VII. — Prolonger une ligne sur le terrain au delà d'un obstacle qui empêche de voir la direction de cette ligne.

Soit {Jig* 26) AB la droite dont il s'agit de tracer le prolongement au delà de Tobstacle O. On mesurera, avec la chaîne, la longueur AB^ on prendra ensuite une station E, qu'on puisse apercevoir des points A et B, et de laquelle on puisse voir le terrain où doit se trouver le prolongement de AB. Des points A et B on mesurera les angles A et B du triangle ABE, et l'on calculera le côté AE5 à partir du point E, on tracera un alignement EF dirigé vers la partie du terrain qui est au delà de

l34 TRAITÉ DE TRIGONOMÉTRIE.

Tobstacle O. On mesurera Tangle AEF, et, si C désigne le point de rencontre de l'alignement EF avec AB prolongée, on

Fîg. 26.

connaîtra, dans le triangle ACE, le côté AE et les angles : on pourra donc calculer EC et Ton aura ensuite, avec la chaîne, le point C sur le terrain; puis, traçant un alignement CD qui fasse avec EC un angle égal au supplément de ACE, on aura le prolongement cherché.

Si la droite AB était inaccessible, on se servirait d'une base auxiliaire menée par le point E, pour mesurer les éléments du triangle ABE, comme dans le problème V.

106. Problème VIII. — Trois points AyB^ C (Jig. 27) étant situés sur un terrain uni et rapportés sw* une carte, déterminer sur cette carte le point M, d'où les distances AB et BC ont été vues sous des angles a et S que Von a mesurés.

Fîg. 27.

Le point M est à l'intersection des segments capables des angles a et S, construits sur AB et BC respectivement; mais il s'agit ici de rattacher ce point par des éléments calculés aux points donnés A, B, C.

CHAPiTRB TROISlftVE. î35

Soient AB=--a, BC=A, et prenons pour inconnues les angles MAB =1: x et MCB=j) . Les triangles AMB et CMB donnent

siua sinS

a sin .r h si n r sin j: ft sin a — - -^ et —

sin a sine sinj^ asin6

Soît ^ un angle auxiliaire, tel que

h siaa

on aura

d'où

ou (18)

sin.r

- — = taogç,

sin^

sînjr — ^\T\y tangf — t

8in.r -+- siiij taagf -i- i

tongl(4:-.r) ^ tangy-tang45^ ^ •

tang-^{^H-jj 1 4-lang<ptang45» ^'^^ ^ '*

On a d'ailleurs, en désignant par Ot> l'angle ABC,

donc

tang ^{x— y)z=z tang(y — 45«) tang f 180*» — ^ ^\ •

Au moyen de cette formule, ou calculera l'angle - (a: — 7) et,

comme - (jc 4-^1 est connu, on connaîtra aussi les angles x Qly qui déterminent la position du point M.

Remarque. -^ Si l'un des facteurs de l'expression de tang - (^ — jr) est nul sans que l'autre soit infini, les angles x et r sont égaux entre eux. Mais si le seicond facteur est infini,

l3(> TRAITft DE TRIGONOMÉTRIE.

le premier est nul et la valeur de taiig- (a — j) se présente

est elFectivemcnt indéterminé. En effet, pour que le facteur

sous la forme -• On peut vérifier que, dans ce cas, le problème

tan'' i8g*»

soit infini, il faut que l'on ait

ce qui est la condition pour que le quadrilatère ABGM soit inscriptible^ par conséquent, dans le cas que nous considérons, les deux segments capables des angles a et 6, dont l'intersection détermine le point M, coïncident. Alors le facteur

tang (cy — 45**) est nul^ en effet, on a tang ? = ^î^ • ^''

mais -r-T et -: — sont les diamètres des cercles circonscrits smÇ sma

aux triangles ABM et BCM (76), et, puisque ces deux

cercles coïncident, on a tangf = i ^ par suite ç = 45** et

tang(çf — 45") =o.

QUESTIONS PROPOSÉES

I. Quel doit être le rayon d'un cercle, pour que la différence entre un arc de lo mètres et sa corde soit plus petite que i millimètre?

IL Résoudre un triangle, connaissant la base, la hauteur et la différence des angles à la base.