AU +A !/
etc.
L^U y=zd
on aura
tt'=« +
2CA'+cA'* A'*— I
4JEA'+cA'* A'»— I
+ etc.
C'est sous cette forme que Stirling a présenté le résultat prcccdenf , qui sert , comme on voit , à interpoler entre un nombre impair de quantités équidistantes , en plaçant l'origine des indices à la quantité moyenne.
880. Lorsque le nombre des quantités données est pair, on place l'origine des indices au milieu de l'intervalle qui sépare les deux quantités moyennes comme ci-dessous ,
etc.— 7, —5, —3, — I,
etc. u i
+ i> +3> +5» +7, etc.
40 Cu. 1. Di/ Calcul
et prenant les différences successives j comme plus haut , on forme le tableau suivant
à U j A //5 A U^ A ft f AU^ AU^ i
kZTç
A'i/.y A*/«5 A*//, A*/^, A'ir, A*tf j
A^i^y a'/£5 a'i/, A^tf, A^/^,
A*W y A^tf„5 A^//j
désignant toujours par h' Tindice auquel répond la valeur générale t/, on aura
-(A i/5 + A i!^^7; + etc.
AW-— i) , ^ ,. ..
AW*— i)(A''— 9)(A'*— 25)
.+-^^ ^^^ — ^^^^ ^ A'a^+ etc.
Pour présenter cette formule comme Ta fait Stirlîng , il faut poser
A*//, + A*U^=B , A^«j= * A*tt:j + A^I/5= C, A^Z/5= C
et
il viendra
etc.
-75 + Jh'
^- etc.
DES D ï F JP É R E I^ C E S. 4I
Il faut observer que d^ns le cas actuel la difFérence entre deux indices consécutifs des quantités données est 2 , en sorte que la distance de «'à «, , prise , en comptant chaque intervalle pour
Tunité, est exprimée par
88i. La formule du n^ précéd. se déduit de celle du n\ 879 ^ en prenant les différences de chaque membre par rapport à h' ; pour cela on supposera que h! se change en A' f i , et du résultat de cette substitution on retranchera l'expression de u' citée. Il est évident que les coeificiens numériques varieront seuls dans cette opération ^ puisque les quantités u et leurs différences sont indépendantes de A'; tout se réduit donc à former les différences de ces coefficiens. Pour montrer comment on y parvient, nous prendrons un coefficient ' de chacune des deux suites partielles qui composent la valeur de u\^
Dans la première , ^ — , qui équivaut à
I {h'^x) ih'—i)hXh'+ i){h'+ x) 1 1.1.3.4.5 '
devient - ^ J \ ^ ^\ ii v . retranchant de cette
valeur la précédente , on trouvera
2 ih'-^i)hXh'+i)(h'+x) ^^,^ ^ )(A'i) } = I (h''-i)h'(h'+i)(h'+i)
Dans la seconde suite le coefficient
h'^(h''—i)(h''—4) ^ {h'—i)(h'^i)h\hXh'+i)(h'+i) i.2.}.4.5.6 I.2.3.4.5..6
se change en
et la différence de cette valeur à la précédente est
Appendice, F
42 C H, I. Du Calcul
En opérant de même sur les autres coefHciens^, on trouvera
+ A «^ + etc.
Cette expression n'est que celle d'une différence première , mais on passera à l'expression de v! en diminuant de l'unité les ex-* posans des caractéristiques a ^ puisque cela revient à prendre les différences premières pour des quantités primitives , les différences secondes pour des différences premières , et ainsi de suite ; et^comme la formule d'où nous sommes partis suppose que les valeurs données soient en nombre impair j leurs différences , prises maintenant pour les valeurs données » sont nécessairement en nombre pair y ainsi qu'on peut le voir dans la seconde ligne du tableau du n"*. 879 ; mais afin de placer , comme dans le n% 880 , Torique des indices entre les deux quantités moyennes^ qui sont désignées ici par u^ et 1/ , et faire que la différence de ces indices soit
A'-— I de deux unités y il faut écrire , au lieu de h\ et remplacer
ensuite
par
En effectuant ces transformations avec soin, on retombera sur l'expression de u! relative au cas oîi le nombre des quantités données est pair.
U seroit possible de déduire aussi de l'expression
ï^'= uA- -; 1- + etc. la formule du n"*. 879 , par des
dx i dx^ i.-L
considérations analogues à celles du n\ 873 , mais nous revien-
.drons dans la suite sur c^t objet par une méthode plus générale et
plus simple.
88i, Lorsque les différences successives des quantités données ne
forment pas une suite convergente, il faut changer la forme que
Ton suppose au dévisloppement de 1/. Prony ayant reconnu que
l'expression •
tt'=:^ct'> Bf^''+ C>*'+ etc.
étoit propre à exprimer les loix de la dilatation qu'éprouvent les fluides élastiques par Pefiet de la chaleur^ a donné une méthode très-simple pour déterminer les coefficiens A ^ B , C y etc. et les quantités «, iB , y y etc. mais comme cette méthode se lie naturellement avec la théorie dune espèce de suites, nommées suius ri'curremesy que nous devons traiter avec étendue, nous diflërerons jusques^là d'en parler.
Charles a aussi proposé quelques formules d'interpolation dans*^ lesquelles il a introduit les sinus. Voici celles qui paroissent les plus commodes :
, usinTrx' i^.sinTfjc'— i) i/.sîncrf;(f'— 2^ u'=p-: ■,+f-.î y-, (+r^* )-7 { + etc.
, uûnwx' u.s\n^(x' — i) uSix^'7f(x' — 2)
On y suppose que les valeurs « , »,,«/», etc. répondent aux indices o > 1 , 2 , 3 , etc. Dans les deux premières les quantités /f, q^ r^ etc* sont indéterminées, mai;$ cependant assujetties à la condition de n'être pas des nombres entiers ou des fractions dont le dénominateur soit moindre que l'indice de 1/ , dans le terme qu'elles affectent, et peuvent servir à remplir des conditions auxquelles setoient soumises en par» ticttlier les valeurs intermédiaires que l'on cherche.
La composition de ces formules repose sur le même principe que celle de la formule du n*". 877 ; les deux membres de chacune d'elles deviennent identiques lorsque l'on fait successivement
jc'= 3 , etc.
u'^=u^y etc.
Le second se rédttit toujours à un seul terme, qui se présente
d'abord sous la forme de ^ , mais dont il est facile de trouver la vraie valeur. En effet , si Ton suppose , par exemple , x = i , les numérateurs des termes de deux premières formules s'évanouissent tous., mais il n'y a que le dénominateur du second terme auquel il en arrive autant ; maintenant si Ton observe que
Sin7r(:v'— i) = — 1- i ît ,£-+etc. (Int.n\^^)
.'("-)-, = ÛfÙZll + ÛfJUlL + etc. ( Inc. n% xx ) ,
- . U.Sltl'frfx' — l) U.sitlTrfx' — l)
on verra que les expressions ç )—, ^ , q ,,. \
se réduisent, Tune à u, , l'autre à w-z^, , lorsque x'z=zi. Les numérateurs de tous les termes du second membre de ïa troisième formule étant multipliés par (sin-rx')*, s'évanouiront toutes lés fois que a:' sera égal à un nombre entier ; mais il n'y a qu'un seul des dénominateurs qui disparoisse : quand on a , par exemple y a:^= i , le
uJsin TrxY , , . .
terme -j—, rr- se réduit à ^•^.,
S83. Quoique le but de l'interpolation soit en général de déterminer des valeurs intermédiaires entre des quantités observées , sans connoître la loi qui lie ces quantités à leurs indices, ou à la variable dont elles dépendent, on l'employé aussi lorsque cette loi est connue et exprimée analytiquement , mais que les calculs nécessaires pour évaluer en nombres les formules qui ea résultent sont très-compliqués. Oi\ se contente alors de déterminer par ces formules , de distance en distance , des résultats rigoureux , entre lesquels on interpole ensuite les valeurs intermédiaires qui doivent compléter la série qu'on se propose de former. Dans ce cas on ne prend point les différences successives des valeurs calculées par les formules résultantes de la loi , mais on déduit ces différences de l'expression analytique de cette loi } on en pousse la suite jusqu'à ce qu'il s'en trouve d'aissez petites pour qu'on puisse les négliger , et par leur moyen on calcule les valeurs sucer Vves de la fonction u. Quoique la formation de ces valeurs
DES Différences. 45
soit facile à déduire des relations obtenues dans le n"". 860 , néanmoins pour plus de clarté , j'en rapporterai ici le tableau , en tenant compte des différences quatrièmes que je supposerai constantes ^ ce qui donnera
etc.
