U'\ etc
etc«
Quand
V E s Différences. 33
Quand les ordonnées u^ u^ ^ u^^u^ ^ etc. sont équîdistantes , on a x^ — x=:ix^ — x^=zx^—'X^ , etc. d'où il suit évidemment ;c,=a:+A, x^:=zx+ihj x^=^x+^h , etc.
C^' =-î-A*r^, £/\=-l.A*i^., 27',= ^ AV., etc. 17'' = — A^//, C^'' =-L-aV , etc.
etc.
faisant x'=zx+k\ îl en résultera
x' — a:=A', :«:' — Ar,=A'.— A, jf' — ;r.=:A' — lA, Jkr' — jf^=A' — 3A, etc.
et Ton voit ainsi que Texpression précédente de u\ qui devient alors
k' h\h'—h) h\h'—h)(h!—xh) ,
u'=u+ —^u+ -i; — --^A«/^+ , V > ^^« +etc.
A A.iA h.xn.'^h
rentre dans celle que nous avons trouvée, n'. 873 , par une voie bien différente.
877. tagrange a présenté l'expression de u' sous une forme nouvelle, en observant que puisque les équations
«=«*+i3x+7A:* + i'x^ + etc.
«*=* + i8^»+ yx\+ J'x\+ etc.
etc.
sont du premier degré seulement , par rapport à chacune des quantités et , j3 , y y etc. u^u^y u^y etc. et que u! doit être exprimé en x\ de manière qu'en y faisant successivement :r'=ji:, a:'=;i:,, :v'=a:., etc. il vienne v!t=iu , v!'=:iu^ , tiz=,u^ , etc. on peut écrire
u'=zXu + -Sr,«,+ -X'fl«^-i+ etc.
pourvu que X ^X^ ^X^^ etc. soient des fonctions telles que par U supposition de .r'=;r, on ait çn môme tems
X—\ y- -X'.=o, ii'^=o, etc. que par celle de x'^=zx^ , on ait
-y=o, X^z=z\\ Jir^=o, etc.
que par celle de jc-'=jr, , on ait
Xz=.o , X,=o , -y^= I , etc.
JppendUf. E
et ainsi de suite , conditions qui seront remplies si Ton prend
etc.
La loi qu'il faut observer dans la formation de ces quantités est on ne peut pas plus simple; leur numérateur contient, ainsi que leur dénominateur 9 autant de facteurs qu'il y a de quantités a:, x^yX^^ etc. moins une ; et si Ton y fait les hypothèses indiquées ci-dessus , xion-seulement on se convaincra qu'elles satisfont à la question proposée, mais on verra de plus comment il a été possible de prévoir qu'elles y satisferoient. On a donc cette nouvelle formule dMnterpolation
+ ^/~^y""\y'""t''-»+ etc.
très-commode dans la pratique , parce qu'on en peut calculer chaque terme par le moyen des logarithmes. Il ne seroit pas difficile de la ramener à celle du n°. précédent , et même à celle du n^ 873 ; c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas.
878. D'après ce qu'on a vu dans le n*. 876 , on conclura sans doute qu'il existe pour l'interpolation une infinité de formules différentes , dont chacune doit être propre à un genre particulier de suites. En effet , celles que nous avons obtenues Jusqu'ici ne conviennent qu'aux suites dont le terme général est rigoureusement de la forme
a + fix + yx*+ S'x^+ etc.
ou peut y être ramené par le développement, lorsque x est assez petit. Dans ce dernier cas on ne parvient qu'à un résultat approché, et seu-
n E s Différences. 35
lement lorsque les valeurs données et celle que Ton cherche sont renfermées dans un très-petit espace ; c'est ce que Tapplication géométrique rendra sensible. En déterminant les coefficiens et ^ iS , 7 , cT ^ etc. comme dans le n"*. cité , on forme , ainsi qu'il a déjà été dit y 1 équation de la courbe parabolique passant par les points dont les abscisses sont X y x^JX^J et les ordonnées u^u^^u^^ etc. Si les abscisses sont très-inégales , la courbe obtenue pourra avoir la forme FGH , ^. i , FIG. i. tandis que le terme général de la suite proposée donneroit une courbe de fa forme CDE , qui n'auroit de commun avec la première que les points donnés M^M^^M^^M^^ etc. et qui en différeroit d'ailleurs beaucoup dans l'intervalle de l'un de ces points au suivant , ainsi que le montre la figure. Si au contraire les points donnés sont fort resserrés , et qu'entr'eux la parabole calculée n'ait aucune inflexion , elle pourra se confondre , au moins dans un espace peu étendu , avec la courbe qui résulteroit du terme général de la série proposée. Il suit de ce qui précède qu'en variant la forme de l'équation de la courbe par laquelle on suppose que les termes de la suite proposée sont liés avec leurs indices , on en pourra trouver une qui approche plus que toutes les autres de la courbe donnée par le terme général. Sans sortir du genre parabolique , on peut à l'équation
uf=L A + fix' + yx'^'Jr ^x'^+ etc.
substituer l'une des suivantes
u'= <tx' -^ ^x'^+y x'^ +i'x''-\' etc.
u'^dx'""^ le x'^+ 7x'^+ /a:''+ etc.
dont les coefEciens tt^ (i^ y^ S'y etc. se détermineroient aussi par les équations particulières qu'on formeroit , en changeant succeflivement u' et x\ en n et a; , en //. et x^ , etc. mais on abrégera beaucoup le calcul ^ en donnant à ces expressions les formes
i/=^a/ +Bx' {x'^^x') + Cx" (x'*^x'Xx'*—x\)
+ DxXx''—x'Xx'^—x\X:ç'^—x\)+ etc. j
fi'=Jx'' + Bx''{x''^x-) + Cx'^(x''—x'){x''-'X\)
+ Dx'\x'^-x%x'^-x\Xx^^^x\) + etc. } > lesquelles étant développées rentrent évidemment dans celles qu'on leur a supposées d'abord. Nous ne nous occuperons ici que de la
El
3^ Ck. l. Du Calcul
première de ces expressions, qui donne
+ Dx^ix\—x%x\—x\){x\—x\) ] etc.
lorsqu'on y fait les substitutions indiquées plus haut. On tire
d'abord de ces équations
^=A+Bi x\^x')+ C( **.—*») ( x\^x\)
+Z>( a:»,—**) ( *•,—*•.)( **,— -t».) 4- etc.
retranchant ensuite la première de celles-ci de chacune des autres , et divisant les résultats par la quantité qui multiplie ^ , on obtient
u,x — ux,
xx,{x\—x')
- = B-\-CU\^x\)
etc.
En représentant par U^,U^y C^, , etc. les premiers membres de Ces dernières équations , et en opérant sur elles comme sur ks précédentes f on trouvera
etc.
DE s^ Différences. 37
Les calculs ci-dessus nous donnent déjà la valeur des trois premiers coefficiens A, £ , C , et il est facile de les pousser jusqu'à tel coefficient qu'on voudra ; il ne nous reste donc plus qu'à mettre sous une forme symétrique les expressions que nous avons obtenues ^ savoir:
xxXx'^.— x^) *
La seconde peut être écrite ainsi :
En remettant pour Z7, et U^ les quantités que ces lettres représentent, il viendra
u^x — ux^ u,x — ux^
~ xx,{x\—x%o\—x\) ~ xx,{x\—x%x\—x\)'
expression qui se décompose comme il suit :
si Ton réduit entr'eux le second et le quatrième terme, et qu'on range ensuite dans l'ordre des indices , tous les termes et chacun de leurs diviseurs , on trouvera
x{x^^x\){x^^x\) x,{x\^x-){x\'-x\) x^{x\^x^){x\^x\y On obtiendroit semblablement
Il sera souvent plus commode de déterminer successivement les
38 C H. h Du Calcul
coefHciens les uns par les autres , et dans ce cas on déduira des pre« mières équations ces valeurs très-simples ;
Il y XyA B
etc.
Ce que nous venons de faire sur la première des deux formules d'interpolation que nous avons proposées au bas de la page 3 5 , se pratiqueroit avec le même succès sur la seconde ; et Ton remarquera sans peine que ce procédé seroit très-commode pour déter^* miner les coefficiens A ^ B , C y etc. dans la formule u'=zA+B{x'^x)-^C{x'^x){x'-^x,) + D{x'—x){x'-x,) (a:'— .^0+ etc. et parvenir ainsi d'une manière immédiate au premier résultat du
879. Nous rapporterons ici deux formules très-élégantes données par Stirling , d'après Newton , et qui se vérifient comme celles du n". précédent.
Si, aux indices j ^
etc.— 4, — 3j —^» — ï> ^» +ï +^> +3j +4>etc.
répond cette suite de quantités données ^
etc. u^i, «-Î tt-. «-r « ^i ^. ^\ ^Uy ^^<^«
et qu'on en prenne les différences successives comme le montre le
tableau ci-dessous,
àU^i^ ^U j^ A«. LU^ t^U LU^ AU^ AU^
A^U^l A*2/., A*«.^ 4*tt-t ^"^ A^'U, AV.
aVa ^^^-î ^^^-» ^^'^-i ^^"^ ^^^i
^^U^ii ^^^^î ^^'^-â ^V--,
AV4 ^^^-î aV»
aVa
DES Différences. 39
on aura , pour un indice quelconque » désigné par h\
+ etc.
En faisant pour abréger
