Soit u = \*x j on aura , par la formule du n
A « = M \ — H r etc. }
l X IX* 3 x^ J
^.,=«JM^ -^ + etc. I
A^u = Af I — — — etc. i
On poussera ces suites , selon la grandeur du nombre x , jusqu'à ce que la dernière différence soit assez petite pour être négligée sans erreur sensible. Si Ton avoir , par exemple , *= loooo , et A = i , on trouveront pour les logarithmes ordinaires ,
Atf= 0,00004 34171 76863 A^M = — 0,00000 00043 41077 A^u= 0,00000 00000 00867 ;
et il est évident que si Ton ne veut avoir les derniers résultats qu'avec dix chiffres seulement, on pourra , sans craindre d'erreur sensible, négliger A^u.
Cela posé, on aura le logarithme de loooi , en ajoutant à celui de loooo, qui est 4,00000 00000 00000, la valeur de Au rapportée ci-dessus ; pour passera celui de loooi , il faudra ajouter à celui de. 1 0001 la quantité au — a*//, puisque a*// est négatif; et si l'on représente cette quantité par Au, , le logarithme de 10003 s'obtiendra en augmentant celui de loooi de la quantité a«, — a^u+a'u. Faisant a «» — a*u + a^u — au^^ — a*ii + a^« = — a^u^ , U
DES Différences. 47
quantité Ax^^ — A*^, + A^«sera ce qu'il faut ajouter au logarithme de 10003 , pour avoir celui de 10004 9 ^^ ^^^^^ ^^ suite. On pourra former ainsi , par de simples additions , les logarithmes de tous les nombres entiers consécutifs à loooo, tant que la somme des différences qu on néglige à chaque opération ne sera pas assez considérable pour influer sur le dernier chiffre décimal auquel on veut borner l'exactitude de la table, et c'est ce qu'on reconnoîtra au moyen de quelques logarithmes calculés rigoureusement à des intervalles éloignés ; car lorsque par la suite des additions successives ,' 00 sera parvenu à ces logarithmes , il faudra que la méthode des différences les donne tels qu'ils ont été déduits à priori , au moins dans les dix premiers chiffres , si c'est à ce nombre que l'on veut s'arrêter. On iroit , par ce qui précède , jusqu'à loioo , sans trouver d'erreur sur la dixième décimale ; parvenu à ce but , on calculeroit de nouveau à priori les différences Au , à^u , a^x^ j et on se serviroit de ces derniers résultats comme des précédens , pour obtenir les logarithmes des nombres entiers qui suivent loioo.
885. Voici d'autres expressions plus convergentes des différences ]^remières et secondes de la fonction logarithmique. La série
^n+0=^n+^M\-^ + 'X-^^^ etc.] ,
(in + i ^\in + i/ 5x2/2 + ^/ J'
obtenue dans le n''. 28 de l'Introduction , donne , en changeant nen x €t { en h,
Ax/ = iitf ( TT + ^C Tï) +^( Tt) +^^C'li
(ix + h ^\xx+h/ ^\ix + n/ )
on pourroit former a^u , en développant la série
+ -T-7- — - + etc.
dx I dx^ i.i
mais on arrivera à un résultat plus simple , en ajoutant ensemble les deux équations
l{x + k) =\x + M \ i + — 1- 7 + etc. [
^ (x IX* '^x^ 4x* J
. • .X t wf* h" ^^' *^ 1
48 C H. I, Du Calcul
d'où il résulte
1(^+A)+1( x-A)=zli— ajw(il-+ Jl-+^ + etc. ].
lijf j^x^ ox^ y
Sx Ton change x — h en x, et qu'on écrive par conséquent x+A pour X et x+ih pour x-J-A, il viendra
l(x+ ih)^i\(x +h) + lxz=^
or le premier membre^ qui est équivalent à u^ — lu^ + u^ se réduit £i*u: on a donc
7i.rf *• ** A« 1
^■" = - ' ^ l^:?+Ây + ,Th^ + 6(;+ïf + '"• j-
Lorsque :i: est un peu grand par rapport à A , il sufGt de tenir compte des deux premiers termes de l'expression de a». En effet , quand
x= loooo et A=i , le second terme , savoir, . " ( ^
' 3 ^ ix+A /
donne seulement o^ooooo ooooo 00036 , et le suivant aurolt
2 1 zéros entre la virgule et le premier chiffire significatif. A Tégard
de A'tt on peut se borner au premier terme ; car le second, — 7 .,
*^ '^ '2 (x+hy^
se réduit à 0,00000 ooooo ooooo 0217. Il suit delà qu'en désignant par N un nombre au-dessus de loooo, on a avec une fort grande exactitude
quant à la différence troisième ^ on auroit le premier terme de sa valeur en calculant le premier terme du développement de d. — — . , dont
l'expression est - — r^. On voit par-là que la valeur dç a^N deviendra bientôt assez petite pour qu'on puisse la négliger, et
rien
DES Différences. 49
rien ne sera alors plus facile que de construire une table de logarithmes d'après ce qui vient detre dit. Au reste, si Ton vouloit plus de détail sur ce sujet , il faudroit consulter un Mémoire de Delambre, imprimé parmi ceux de TAcadémie de Turin, pour les années 1790-91 , d'où nous avons tiré ce qui précède, et duquel nous extrairons encore ce qui regarde les différences des fonctions circulaires.
886. Nous n'entrerons ici dans aucun détail sur les expressions des différences de la fonction a', parce qu'elles sont d'un usage beaucoup moins fréquent que celles des différences logarithmiques ; elles sont d'ailleurs très-faciles à former , après ce qu'on a vu dans le n**. 864. On a en effet A*.fl'=tf'(ii* — 1)% et le développement de (tf* — i)* se trouve dans le n^ 866.
On obtiendra tout aussi simplement le développement de i^.a'y^ y étant une fonction quelconque de x ; on aura d'abord l'équation
et faisant ( a* — • i ) J^ + ^^^y^=^y\ il viendra
puis posant (a* — i)y+tf*Ay=y, on en tirera
ù? . a'y = a'l{a^^ i )/' + a^Ay'^ :
etc.
chassant ensuite y, y'\ etc. après avoir, fait pour simplifier û*=:« , on trouvera
A» . «>=«'[(«— I )> + 3 (*— I )»*AJ. + 3(«— I )«*A> + *'a^^] ,
et en général
