Puisqu'on a sin(jc + A) = sînrcosA + sinAcos;^, on en

déduira

A sin :r = sin x cos h + cos x sin A — sîn x

= cos:rsin A— sin Jt (i — cos A);

et en observant que i — cos A = 2 ( sin ^ A )*, il viendra

A sin X = cos X sin A — 2 sin x ( sin ^ A )*. Telle est l'expression rigoureuse de la différence première de sin;c^ Appendice. G

par laquelle on passe de sinx à sin(x + A). Pour obtenir celle qui mène de sinx à sin {x — A) , on aura

an :c— sin ( :c— A ) = sin x — sîn x cos A + cos x sin A

s=: cos X sin A + sin jc ( I — cos A )

et si on désigne cette différence par A^sin x , on aura

A'sinx = cosjtsinA+ 2sinA'(sin7A)% d'oii on tirera

A sin X — A'sîn jc = — 4 sin x ( sin ^ A ) •. Il est évident que a sin x, — A'sin x n'est autre chose que la différence seconde de sin (x— A) ; et si on veut en déduire celle de sin x , il suffira de changer x — A en x ^ et d'écrire par conséquent x + h pour X ^ ce qui donnera

A»sinx= — '4sin(x + A)(sin^A)*.

On donnera une forme analogue à la différence première par le moyen de la formule

sin^— sin5 = 2sin^(^— 5)cosn^+^)f de laquelle il résulte

A sin X = sîn ( A • + A ) — sin x =r a sin 7 A cos 7 ( 1 x + A ) ; et comme on a aussi

cos^ — cos5 = — 2sîn^(-rf — J?)sin7(-'+ ^)> on trouvera

A*sinx = isin^A[cosH*^+ 3 *) — cost( ** + *)]

=— 4( siniA)»sin Ki^+ iA) =— 4("n 7 A)»sin(x + A).

En poursuivant ainsi on anivera à ces formules générales

A^i sinx= 1^* (sin^A)^* sini(ix+4iA) A-^"sinx= 2^'-^*(sin^A)^'^'cosi(2x + (4/+OA) A*^sinx = — 2^''^(sinfA)^^*sin^(2x + (4i+2)A) A-^'sinx=— 2^^'(sin î A) *+^cos^ ^ ^ + ( 4' + 3 )A) , renfermées dans les deux suivantes :

A" sinx=:=i:2" (sin^A)" su:i(2.r + 2nA) A-*'sinx ==iz2**-*"Csin î A )' "^'cos f ( 2 x + ( 2 n + i ) A ) ,

dins lesquelles il faut prendie le signe + lorsque n est un nombre

pair , et le signe — dans le cas contraire.