Les formules ci-dessus sont déjà très« commodes , mais

Legendre est parvenu à quelque chose de plus simple encore , en

exprimant les différences de Tordre /i parcelles de Tordre n — i et

de Tordre n — 2 , au moyen de cette équation :

A^sîn x=i — ( i sîn ^ A )• { ^"""'sîn x + û*""*sin :r } .

Pouir en prouver la vérité, nous ferons remarquer premièrement que

A'<*sinx = i^^(sin7A)^yn(Ar+ xih)

= ^(zsin^A)^*--X— 4(.sinTANn(Ar+iiA),

et que — 4(sinf A)*sin(x'+ iiA) = A*sin(x + (li — i)A)f ce qui donne

A^^ sinjc = — (2sin^A)4*-'*A*sin(;»r + (i; — i)A) (i).

Par de semblables décompositions on trouvera de même

A^^VmA:= — (isin^A)^*-Vsin(Ar+ (li— i)A) (1) A^*+^in:*r = — (2sin^Ay»-A*sin(:»r+(2i— i)A) (3)

et si Ton diminue Texposant de A , il viendra aussi

A^*-»sinx = — (isini^A)^»-Asin(jir+(2/— i)A) (4) A4»-*sin.r = — (2sin^A)^^-* sin(Ar + (2/— i ) A) (5); multiplions maintenant par — -(isin^ A)% la somme des équations (4) et (5) , en faisant pour abréger a:+(2/ — i)A=x', nous aurons — (2sinfAy{A^»-'sinAr+A^»-Sinx}==(2sin|Ay»(sinA:'+Asinx'); or sin *'+ a sin ;c'= sin ( x' + A) = sin(;c + 2iA) et ( 2 sin 7 A )^*i5in (* + 2iA) = A^^sin x : donc A-^^sin x = — ( 2 sin ^ A )•( A^*"*sin x + A^*^*sin x ).

Si Ton traite de la même manière les expressions de A^^'^'sin x ^

et de A^*3in*^, on trouvera que leur somme multipliée par— ^ 2sin -A j

est égale à la première valeur de A^f'^'sin jr ; il en sera de même des expressions de A^*sin;r et de A^**'sinji: , par rapport à A^*'*'*sinAr : enfin de celles de A^*^*sinx et de A^*+*sin;t, à Tégard de A^*^^sinA:. Dans tous ces calculs il faut prendre chaque différence avec le signe dont elle est affectée ; et comme les quatre résultats indiqués comprennent les diverses variations qu'il peut y avoir dans ces signes > Téquation posée au commencement de cet article se trouve démontrée pour tous les cas.

Ci C H. h D ir C A L C U L