L'expression générale u^=u^ + au^=zu, + au + a*u donne

sin(x + 2Â)=sin (x+k ) +[sin(x+h) — ^sinAr] — sin{x + h)(isin ^ h)% lorsqu'on y met pour A*sîn;t sa valeur du n**. 887. Cette formule est très-expéditive pour calculer des tables de sinus; car en faisant successivement a:=o% x=i% x=i% etc. et prenant A=i% on aura

sin2*'=sini''+(sini** — sino*") — sini°(isin3o')' sin3*'=sini*'+($ini° — sini°) — sini°(isin3o')* sin4°=sin3*' + (sin3*' — sini*") — sin3'^(isin3o')" etc.

et il ne sera besoin de calculer par la série

sinj:=: 1 ' — -etc. ( Int. n^ 35 )*

que le sinus de 30' et celui de i"*, pour lesquels cette série est très«

convergente : si l'on forme ensuite les produits des neuf premiers

nombres par le terme constant (2sin3o')^, il ne restera plus à effec<*

tuer que de simples additions et soustractions. En calculant avec treize

décimales^ Terreur , suivant Delambre, n'iroit qu'à 0,00000 00000 06

sur le sinus de 60"*. Passé ce terme , les sinus s'obtiendront par la

formule sin ( ôo"* + -^ ) = sin ( 60^ — ^ ) + sin j4 ,

et Ton aura , pour se vérifier dans l'intervalle , les sinus suivans

sini5°=:/î— /I, sini8^=:^V^5 — ^, sin30^=:i,

sin450=»/r, sin^4''=i^l-U sin6o^=:Vj.

En écrivant x^^i\ or— 10'', au lieu de x , dans la formule sin (.v+ 2A)=sin (Ar+ A) + [sin (x+h) — sinjt] — sin(x+/z)(2SÎn 7 h )% et faisant h=i\ h=io^\ on aura ces deux équations:

sin(:r+ i') = sinx + [sinA: — sin(A: — 1')] — sin:c(2SÎn3o'y

sin(A:+io'') = sina--|-[sin:c — sin (a: — 10')] — sinx(2sin 5'')'

qui serviront à calculer les sinus de minute en minute et de dix secondes

en dix secondes , lorsqu'on aura obtenu , par la série rapportée ci-

dessus , les valeurs de sin i' et de sin 30", celles de sin 10'' et de sinç''.

L'équation dont nous venons de faire usage peut être retournée ainsi :

sinx=sin(x+//)— [sin(A:+2A)— sin(x+A)]— sin(ji:+A)(isin^Â)*

et devient

sin( V— 2A)= sin ( jc— A)— [ sin :c— sin( at— A)]— sin(A:— AX2sin j A)* par la substitution de x — 2A , au lieu de x ; dans cet état elle

DES DirrÉREWcES. 53

donneroit successivement les sinus , en partant de Tare de 90'' et en allant vers o''«

890 La manière d^employer la formule

A"sîn x = — fisîn-J { A'^'^sin x + A'^'^sin x }

n^est pas difficile à trouver. En partant d'abord 4e o"*, pour passer à un arc très-petit , que je supposerai représenté par A j les expressions de A sin x et de a' sin x donneront d'abord

A.sino''=: isin^AcosjA A" sin o*£=(i sin ^ A )*sin A.

Ces deux différences étant calculées , on aura sin A et sin 1 A ; puis formant les produits des neuf premiers nombres par le facteur constant ( 2 sin ^ A )% on tirera des équations

(A \* 2 sin - j {a sin 0*+ A*sin o"" }

/ A\* A^sîn 0*'=— f 2 sin- J { A*sîno''+ A^sin o* }

etc.

par de simples additions et soustractions , les valeurs des diffé^^ rences successives , au moyen desquelles on formera celles de sin3A9 sin4A9 etc. ( n"*. 883 )•

C*est par des procédés semblables qu'ont été calculées dans les bureaux du cadastre , les grandes tables des sinus naturels ^ avec 25 décimales 9 pour les loooo'"'* parties du quart de cercle. Prony, qui a dirigé ce beau travail , le plus étendu qu'on ^t encore exécuté dans ce genre , ne manquera pas sans doute de faire connoître en détail les méthodes dont oh s'est servi pour en simplifier le calcul. Les tables des sinus sont déjà stéréotypées , et il est bien à désirer qu'on en fasse bientôt jouir l'Europe savante ; il ne reste plus qu'à imprimer les logarithmes des sinus et des tangentes qui ont été calculés avec seize décimales.

Les tangentes se déduisent si facilement des sinus et des cosinus, qu'il est inutile de recourir à d'autres formules; d'ailleurs leurs différences ne se présentent pas sous une forme commode , et

puis dès qu'on les a jusqu'à 45^^ on obtient celles des arcs suivans par réquation

tang(45«+i-^)=itang^ — tang(45^— 1^).

Les sécantes se déduisent sans peine de la formule

sec^ = tang(45*'dti^^)qptang^. •

891. Nous passerons donc au calcul des logarithmes des sinus;

Slfl >ï

nous observerons d'abord , que la formule sinf-^r^ — r

icos^^

donne tous ceux des sinus des arcs moindres que 45'' par le moyen

de ceux des sinus des arcs compris entre 45* et 90^. Pour obtenir

ces derniers de degré en degré , Delambre propose la série

, . , .V , • ,^fsîn(j«r+A) — sio:r irsin(A:+A)— sinjri* 1

Uin(x+k)=Uinx+iM\-:-> "[ / . +^l . ) ; . J + etc. [

^ ' lsin(x+A)+smjc ^HinÇx+h^+sinx^ }

qui, se déduit de la série

^ Kn + i)^\n+iM\—^+^-^) +l(—i-^ + etc.] ,

( Int. n% x8 ) , en faisant n = sinx, et n + {=zsin(x + k) , d'où il résulte { = sin ( x + A ) — sin x. En mettant a sin x- ^ au

lieu de {, on aura

,v f . ,^f Asinjr 1/ Asinx \^ )

\sitï(x+h)=lsinx+iM\— -— : — +"{— ; — : — ) + €tc. [.

^ l isin;t + Asinx 3\ismjc + Asin,r/ J

Si l'on^prend Arî=45** et A=:i*', on aura pour le sinus de 46** une série

très*convergente , et qui le deviendra de plus en plus à mesure qu'on

avancera vers 90"*, parce que la différence a sîn x va toujours en

diminuant : quant au sinus de 45**, son logarithme est 7 1 ^ (*).

Les différences successives de A 1 sin ;t ^ déduites de la formule ci*^

dessus , ne se présentent pas sous une forme assez commode pour

(*) Nous ne pouvons passer sous silence une série très-simple , propre à donner le logarithme du cosinus lorsque Tare est très-petit ^ et que Delambre a fait remarquer le premier. On sait que

l(i-^,*)=— 2jtf{i**+iAc4+|-tf + etc.},(n«.4o). SI Ton change x en sîn x , on aura 1 — **= cos *■, 1 { 1 — *• ) deviendra 1 cos x*. où ;^lco&Ar , et on obtiendra par conséquent

1 Qosxzsz'^M ( fsin*»4-^sin**4- Jsin**-|-ctc. J.

DE$. Diffères CE is. 55

être employées dans Ja pratique ; mais lorsqu il ne faudra qu'interpoler des valeurs très-resserrées , on pourra prendre le premier , ou les deux premiers termes dû développement de cette différence 9 obtenu par le théorème de Taylor, termes qui sont

h A* M fcot AT h ( I + cot ;i:M 1 ,

puisque

^.Ism^r ,^cos* -^

--— = M- = -M^cot;^

dx sin X >

d^\s\nx ,^ I ^^ sin*-* + cosx*

— — -= — ilf-T— ;= — ilEZ r---; =— JJf(i + COtJc*).

dx^ suiAT* sinx*^ ^ ^

Quand On ne se propose que de vérifier des tables déjà calculées , ou de les corriger, on peut donner à Texpression de lsin(r+A) une forme qui permette d'employer y au lieu des sinus naturels , des logarithmes contenus dans ces tables. En effet ,

sin(y + A)— sinx tang^:r+A— y> tang^A ^

sin(jc+A) + sin:^'"iangf (;i? + A + ;^) tang(A:+^A) "^^'^S* ^coH**+l/0;

on aura donc

l.sin(;t+A)=l$inx+iilf tang-cot^^+-^ + ^tang-cot^Ar+-^ \

iM/ h / A

H f tang-cot^x+-j \ + etc*

Les termes de cette formule étant des fractions assez petites, pour les mettre en nombres , on se servira des logarithmes des tangentes et des cotangentes , donnés par les tables proposées , parce que Terreur qui pourroit se trouver dans les dernières décimales de ces logarithmes ne sera d'aucune conséquence par rapport aux résultats. C'est ainsi que Delambre a relevé plusieurs inexactitudes dans les grandes tables de "Wlacq.

891. La première idée de calculer ou d'étendre des tables parles différences , paroît appartenir à Mouton , qui publia sur ce sujet , dès 1670 , une méthode dont je vais donner un exemple. Soit la série des nombres o, 15 , 41 , 87, 162, 275, etc. dont les différences

5(> C H. L Vu Calcul

troisièmes sont constantes, entre les termes successifs de laquelle on se propose d'en insérer deux nouveaux assujettis à la même loi ; il faudra par conséquent que dans la nouvelle série les différences troisièmes soient également constantes. Désignant pour abréger , par les lettres a, b^ c, i,le premier terme de cette série, sa différence première ^ sa différence seconde et sa différence troisième j on formera par les principes du n*". 860 y ce tableau.

Indices.

Nombres.

a aAr b

a+yb+iic+'^^d a + >ib+iSc+<6d a+^b + i6c + è4d

Différences i"».

b+ c b+ic+ d

B+4C+ 6d b+^c+iod ^ + 6^+15^ b+jc+zid b+Sc + iSd

Dlffér. a^e».

Dlffér. 3»w

c+ d c+xd c+^d c+à{d c-^-^d c+6d c + jd

et en le prolongeant aussi loin qu'il sera nécessaire , on y trouvera ^ dans la première colonne , tous les termes d'une série quelconque , dont les différences troisièmes sont constantes ; mais lorsqu'on aura intercalé deux nouveaux termes entre chacun de ceux de la série proposée , le second de cette série se trouvera le quatrième de la nouvelle , le troisième deviendra le septième , etc. et en général il faudra laisser dans la première colonne du tableau , entre chacun de3 termes qu'on prendra y autant de termes intermédiaires qu'on veut en intercaler*

Dans Vejç^mpU actuel les termes donnés répondront aux suivans

Indices.

Nombres.'

a+jb+ JC+ d a + 6b+ i^c + xod a + ^b+^èc + Sj^d

etc.

Différences i'".

3^+ 3C+ d }b+iic+ igd -^i+lic + ôj^d

Dlffér. a««». I Différ. 3«««.

9C+ iSd 9^ + 45^

Ijd

dont les différences 9 placées à côté , doivent être identiques avec celles

qui

qui résultent des nombres o, 15, 41 , 87, etc. En calculant ces dernières , on obtient 1 5 pour la première différence , 1 1 pour la deuxième , et 9 pour la troisième ; comparant avec la formula qui occupe la première place dans chaque colonne du tableau ci-dessus , en commençant par la droite , on trouve

d'oîi Ton tire ^=j, ^ = 7> * = -y-« on a de plus ^=0, et par le moyen de ces valeurs on formera successivement tous les termes de la série interpolée.

893. Mouton ne put résoudre lui-môme la question qu'il s'étoit proposée ; ce fut un de ses amis , nommé Regnaud , qui construisit le tableau qu'il rapporte dans son ouvrage , et dans lequel ce sont les différences cinquièmes qui sont supposées constantes. Regnaud , qui ne connoissoit point l'expression analytique de la loi que suivoient les termes des diverses colonnes de son tableau • le construisit en commençant par celle qui se trouve à droite , au moyen de laquelle il forma les autres par de simples additions ; cette espèce d'induction , beaucoup moins commode que les expressions algébriques , fît ou* blîer le procédé proposé par Mouton. Prony l'a repris et en a déduit des formules par une marche qui doit ressembler à peu près à celle-ci.

Supposons qu'on veuille intercaler m^-^i quantités équidistantes, entre les deux quantités u et 7/. , qui répondent à deux indices dont la différence est l'unité, il faudra partager cette différence en m parties égales, et chercher par la formule du n^ 873 les valeurs

de ttt qui repondent aux mdices — % — 3 — !••• — j etc. on ^ * m m m m

obtiendra celte nouvelle suite :

u + A « + -^^ L£^^u->r— — '- ù?u -H etc.

m m.xm m.xm.'^m

u ^ A « + -^^ ^ A*^+ -^= — i ù?u + etc.

m fn* 2/72 Tfi m 2/77 *\m

. 3 ^ . 3(3— ^0^,„, 3(3— ^)(3— ^^).3,. . .^^ u j^jl. £^u-\ — ■ A // + • h U + etc.

n n(n — rn) n(n — /77V/2— 17;/) , u+ — £,u + — ^ A*//+ ~i ^-^ n^u + etc.

Appendice. H

58 C H, \. Du Calcul

ci'.^-nt II s'agira de trouver les différences successives, et c'ef^t ce qui s'effectuera d'une manière commode, en prenant séparément celles de chaque terme. Le résultat se présentera sous une forme très-élcgante et tics-simple, si l'on fait attention que les suites

o , i(ï— ''O , 1(1— /7z) , 3(3—'")' n{ri—m) ,

o, 1(1— /;0( 1—1^/2), ^{^—m){^—lm)^ 3(j— ///)(3— «2/^/) ,. . • .^(/2 — m){n — 1/7/),

etc.

peuvent être regardées comme /z + i valeurs successives déduites

respectivement des termes généraux

X ^ X (^x — m)^ x[x — /;2)(jf— i/w),etc.

en prenant pour x tous les nombres entiers , depuis o , jusqu'à n

inclusivement; en sorte que les n+i valeurs de «, rapportées

plus haut , se tireront de cette expression

x(x — ttt) (x^^im). . . (x — (n — 1)7;) x(x — :u) (x — xm) . . . (x-'-^nm) . JL.^ Ll i i ^ ^f^ A^iZ-l ^^ -^ ■ ^ A""*"*//

en y faisant varier seulement x , par des différences égales à l'unité. Si on désigne par «T// , J '« , i^'^u. , . S'^'u , les différences de u lorsque

l'indice augmente de la quantité — , en conservant toujours la ca«

ractéiistique a pour les cas oh l'indice varie de l'unité > on aura

£i^\x(v — 777)] . ^*[x{x — m)(x — im)l ,

cr'//= -^^ ^^-- LA ^^u + etc.

' ' t Kr ^^Mx — 777) (v — 2/77)... (.V — (n — i)'ny\ U en gcncral /''z^= — ^^-^^ -■ — "^ ^ ^ LJAa'' u

A"[ .V ( x^m ) ( ;c-^277; ) . . . (at— .^777 ) ] 1.2.3.^.(72+ 1)72"'*"'

A"rv(.v — m) (x — 27?;). ..(.V — (n+ l))m'] .

DES Différence s. 51;

en observant de faire jv:=o , après les diffcreniiations. Il est évident que si dans la série des quantités données // , u^ , //^ , u^ , etc* le> difuirenccs de Tordre/; sont constantes, l'expression de S^'u s'tincten à cet ordre, puisqu'on atira A'^'//=o, et le dernier terme sera

Il ne rebte plus , pour avoir l'expression générale de i'^u , qu'à développer les différences des fonctions

X y AT ( X — m) , X ( X — ;//) (a- — 2;/ ) ,..,•. x ( x — m) . . . ( jc— Jw).

Ces fonctions étant ordonnées par rapport aux puissances de x , prennent en général la forme

a'-*-' + Am x' + Bm''x''' + Cm\x'-\ . . + I m'x ,

oîi les lettres ^ , 5, C. ..,/, désignent des coefEcîens numériques indépcnduns de x et de m. Si Ton fait successivement

i = /2 — I , i = /z , i = /z + I , / z= /z + 1 , etc.

on trouvera pour les différences n'""'* de cette fonction , des résultats de la forme

A , A m + fi\ ct"//7*+ ,5"/w + /', etc. *, A,-&\ etc. étant des nombres; et il viendra par conséquent

expression que Ton peut écrire comme il suit :

î [cLùru+ ^A"+'/^+ ^ Î!Î- ^"+'«4. etc l

.2. .../il 72+1 ^ ('^+l)(/2+2) «+«^-J^

4r"tf^ I f - . ^ ^^. m

en observant que J'x^zz — , puisque l'intervalle compris eiitre deux

indices et représenté par l'unité est partagé en m parties égales. Passant aux limites relatives à la supposition de m infinie , le rapport des dif-

férences , dans le premier membre , devient le coefficient différentiel .

et Ton trouve

d"u i ( A ^ et'' ^

6o Q H. \. Du Calcul

foinuile analogue à celle du n". 867, et où Ton peut facilement restituer la quantité h que nous avons supposée égale à l'unité.

894. Nous n'avons encore donné des formules d'interpolation que pour les séries résultantes des fonctions d'une seule variable ; nous n'entrerons pas dans le même détail à l'égard des séries dont le terme gcncral tst une fonction de plusieurs variables : nous nous bornerons seulement à faire connoître pour ces séries une formule analogue à celle du n°. 873. Nous observerons en premier lieu qu'elles ne peuvent être coordonnées avec leurs indices que dans une table de la forme de celle qu'on trouve à la page 449 du premier volume de cet ouvrage, et dont voici un exemple particulier tiré de la fonction 2/= 5 + ;c*+ xxy + 3J'^

etc.

yaUurs de x.

etc.

lOI

etc.

Une pareille table se nomme TabU à double entrée , parce que pour y trouver un nombre quelconque , il faut connoître le numéro de

DES Différences. 6i

la colonne verticale et celui de la bande horisontale , où il se trouve , circonstances qui sont marquées par les indices placés horisontalement à la partie supérieure de la table, et par ceux qui se trouvent sur le côté gauche, La valeur que reçoit la fonction u , lorsque ,r=3 €t j=î4, par exemple, est le nombre 86, situé dans la colonne marquée 3 , sur la bande numérotée 4. Si , pour plus de généralité , on suppose que la différence entre les valeurs successives de x ^ soit représentée par A , et que k désigne celle qui règne entre les valeurs de j^ , il est évidient que Ton passera de Tun des nombres à celui qui le suit dans la bande où il se trouve , en changeant dans la fonction donnée a; en jc + A , et à celui qui le suit dans la même colonne où il est placé, et mettant y + A: pour j^. Pour interpoler, des valeurs intermédiaires entre les termes d'une même bande ^ ou d'une même colonne, on n'a besoin que des formules

A' h\h'—h) ' h'Œ—h)(h'^ih) , «'=«+— V^+ .. \ ^AV+ I u I --^V/+ etc.

Jt' k{k!^k) kXk'—k)(k'—ik) '

puisque dans le premier cas y est regardé comme constant , et que x Test' supposé dans le second: mais pour considérer la question en général, il faut assigner l'expression d'un terme qui se trouveroit sur une bande intermédiaire, entre deux bandes consécutives du tableau , et dans une colonne intermédiaire aussi entre deux colonnes consécutives , ce qui revient à chercher l'expression de ce que devient u lorsqu'on y change en même tems x en x + /i et y eny+k\ Soit 1/ cette quantité; on verra facilement que son développement doit résulter de la substitution dey + k' h la place dey dans celui de ù\ ou de la substitution de x+k' à la place de x dans celui de u^ : arrêtons-nous à la première substitution ; nous aurons

, k' , A'(A'— *) , kXk'—k)(k'—ik) , ,

en observant que ^//, a*^z/', etc. représentent les différences successives de u\ prises en faisant varier j^ de la quantité A, Développant

6i Q n. \. D cr C A L c V L

cette équation sous ce point de vue, nous obtiendrons

h' h'ih'—k) h'(h'—h)(Ji—xh) ,

A;' k' h' .+« k' h'(h'—h) »+. + -rV^+ T -T ^ «+ -7 . , ^ « + etc.

Pour faire usage de cette formule , qu'il est aisé de pousser aussi loin qu'on voudra , il faut former les quantités

«, ^x^t, , ù.\u , a\m , etc.

i-ri a-fi 3+1

6yU , ù. Il , ^ « * ^ « f etc.

i+a a+a 3-fa

A%Z^, A II,' A «,. A tt etc.

etc.

Celles de la première ligne s'obtiennent en prenant comme à l'ordi» naire les différences de la suite des nombres écrits dans la première bande du tableau; puis en désignant par //^, , Uy^^ Uy^ , etc. le premier terme de la seconde , celui de la troisième , etc. bandes , et prenant les différenèes successives dans chacune de ces bandes , ainsi qu*on 9 pris celles de la première , on aura

u , A,w , A^« , ù}^u , etc.

^y% > ^*^;û j ^%^i» 3 ^^o^Uy^ , etc.

Uy^ y ^x^yi % àk'xUy^ , ^^xUyT^ , etc.

etc.

retranchant les termes de chaque ligne de ceux qui leur correspondent dans la ligne suivante, on trouvera

f,,ù =%,— ^, A U =A,//^.— A,tt, A U =:A ^1/^^— A\« , etc.

Ava..=«,,— W;», A «,,=ûa«;'î— A*Kj,, A %a=A ,K^.,— A\«^, , «tC,

etc.

DES Différences. 63

En opérant de même sur ces dernières lignes , il viendra

i+a i-fi i-Hi a -H a+i «+«

A*y// =Ay//v,-^-Avtf , A // =:rA Uy, A U. L U =A Uy^ A // , etC,

■*» 7 *»/ *»J^ *>• *iy *!/

etc.