i-fa i-fa

A\«=A*v//y, A\Z/, A // =A //y, — A U^ A // =A U...^-X .V, ÇtC.

etc.

Afin d'éclaîrdr ceci nous allons l'appliquer à l'exemple contenu dans le tableau de la page 60, dans lequel on a A=:i , k-zi. Nous en tirerons, !**• en^ prenant le premier terme de chaque bande et ses difFcrences successives ,

17 5 2 0 3z 7 2 o etc.

1*. en retranchant, terme à terme, chacune des lignes ci-dessus de celle qui la suit,

15 2 o etc.

}•. en opérant de même sur ces dernières lignes ,

6 o; 4*. enfin

il résulte de là

«^==:Ç , ^xU =î=l, A*,« =2, A^Z/mO

i-fa

A*-«=é, A uzrno y

et substituant ces valeurs dans celle de V , après y avoir fait i^:tri ,

64 Q H. h Du Calcul

A:=i , Il Viendra, par les réductions, £^=5 + /i^ + ih!k'+ik'\ fonction semblable à celle qui a servi à construire le tableau,

La solution du problême proposé est rigoureuse dans le cas actuel , parce que la fonction qui représente le terme général de la^uite proposée est algébrique, rationnelle et entière ; mais quand on voudra faire usage de la formule générale , pour des suites d'une autre na« ture , il faudra que les différences aillent en décroissant , comme lorsqu'il s agit des suites dérivées des fonctions d'une seule variable.

895. On parviendroit facilement , d'après ce qu'on vient de voir, à la formule d'interpolation relative aux fonctions d'un nombre quelconque de variables , c'est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas ; nous terminerons ce que nous avons à dire pour le présent sur ce sujet , auquel nous reviendrons par la suite , en faisant re<« marquer que l'expression de i7, du n**. précédent, peut s'obtenir par l'analogie qui règne entre les puissances et les différences. On a , par

les n". 865 , 869 , V^uz=^t,'u=t^'' ' ^X — i

du l(i + A,i^) du A' w . . V

dy k ' dx k ^ ^ ^ ^^

ce qui donne a'// = ( i + A,// ) ^ ( i + a^m) ^ — i , et en développant, avec l'attention de changer les produits de la forme (^x^Yi^fUy

en /^ z^ , on retombera sur le même résultat qui se déduiroh de

l'expression de i7, trouvée plus haut ( n"*. précéd. )

En poussant l'analogie aussi loin qu'elle peut aller , on auroît , quel que fut le nombre des variables de la fonction u ,

pourvu qu'après le développement , on écrivît A "/^, au lieu

de (A,tf)''(A,K)'(A,«)'-"«

D £ s Différences, 6^

896. Le Calcul inverse des différences est, à l'égard du Calcul ^"^i?"' '«^

, ^ . verse des dittéren-

dircct , ce qu'est le Calcul intégral , par rapport au Calcul diflFé- ces , par rapport rentîel : il a pour objet de remonter des différences aux fonctions p^citw "*^"* ^** primitives. Nous nous occuperons d'abord du cas où les différences sont données explicitement par les variables indépendantes , c'està^ire , où Ton a > pour déterminer la fonction u y une équation de cette forme ù!'uz=zf{x, *)> A étant la différence de la variable Indépendante x.

Soit premièrement «=1, ou Att=f(^, A). Cette équation ne »

fait connoître que le changement qu'éprouve la fonction u lorsque x devient x+k^ et ne détermine rien sur la valeur absolue de cette fonction; mais si Ton suppose que quand x=a^ on ait uz:^B , il sera facile de former , en partant de ces données ^ toutes les valeurs de n ; car aux indices

a, a+hf a+xhy a+yk^ etc.

correspondront ces valeurs de u:

Lintroduction de la quantité arbitraire t a lieu ici comme dans le Calcul intégral , pour remplacer la constante que la différentiation fait disparoître ( n"". 1 5 ) ; mais on voit que la signification de réquation A2f;=f(x, A) repose dans le cas actuel sur la valeur assignée à l'accroissement h , et qu'on ne tire de cette équation qu'une suite de valeurs discontinues qui se succèdient d'après une loi donnée.

Si l'on a voit a*u =i((x,'h) ^ on ne pourroit tirer parti de cette équation , qu*en se donnant une première valeur de u avec celle de A IX qui lui correspond , ou deux valeurs consécutives de u. En effet , si , lorsque x=a , on posoit «=^ , et A«=c , on auroit 9 par le tableau du n"". 883 , pour les indices

^, a+hj a+iky ^+3A> etc.

cette suite de valeurs

^, *+c, *+ic+f(tf,A), *+3c+if(tf,A)+f(tf+A,A), etc. Les différences de l'équation c^u={{x^ k) donnant successivement fi^^u , ^^u y etc» on peut aussi s'élever immédiatement à u,^ , par la

formule i^=;«+/iAii+ ^ 'a*u+^ '-^ '-a^u. . . + a"/^.

^ppcndicCf l

66 Ch*.I. Du Calcul

dans laquelle on voit évidemment que les deux premiers termes u et nàu demeurent arbitraires. U est facile maintenant d'étendre ces considérations à tel ordre qu'on voudra.

897. Les valeurs successives dt u ^ dbnnées par Téquation Au:=:{(^x^ h) y n'étant autre chose que les sommes consécutives des termes de la série

f(tf, A), f(tf+A, A), f(tf+iA,A),....f(a+/ïA,A),

correspondans aux indices

tf, a + hy tf + iA, ..a+nhy

augmentées de la quantité arbitraire i , il s'ensuit que si Ton regarde a+nh comme représentant la valeur indéterminée dex y l'expression générale de la somme des termes de la même série, pris depuis le commencement jusqu'au terme correspondant à ce dernier indice , inclusivement, sera u+((^a+nhy h) — i, ou u + ({xyh) — *, ou enfin u+^u — t. Pour s'en convaincre , il suffit de former la valeur de 11 , qui répond à l'indice a+nk, et dont le développement est i + f(tf,A) + f(tf + A,A) + f(tf+iA,A)....+f(tf + («— i)A,A). On peut déduire immédiatement ce résultat des formules générales du n**. 860, en faisant la somme des équations (i) , qui donnera

et par conséquent

ou, comme ci-dessus,

«+A«— *=f(tf, A) + f(tf+A, A)*..,+f(tf+/iA, A), en changeant u^ en u, u ^n b ^ et mettant pour au , au^ , etc. leurs expressions relatives.

On voit par ce qui précède ,' que la recherche des fonctiods primitives, par le moyen de leurs différences premières » revient à la sommation des suites, et que l'une de ces opérations conduit à l'autre. En effet , si l'on désigne par S^^ l'expression générale de la somme des termes de la suite

Att, A«,, AU^y....ù.U^^,\ Aiy„,

on aura 5^=//^+A«^^— «^ et «»=vy,^— a«^ + « . ,

équations dans lesquelles Uj^^ est la fonction primiii/e dont la dlffé-r

Z) E s DïfriRENCES. 67

rcnce première est erprîmée par le terme général a^^ de la suite proposée , et u représente la constante arbitraire. Par la première , on obtiendra la somme de la suiteproposée,lorsquon pourra trouver la fonction primitive correspondante à son terme général , et la seconde donnera cette fonction primitive dans tous les cas oli Ton connoîtra â priori le terme général et la somme.

Pour indiquer le passage d une différence à la fonction primitive dont elle tire son origine^ on se sert le plus communément du signe s; ainsi, lorsque Aii=f(jc, A) , on a i/=xf(^, A) + co/ïir. D'après cette notation et les équations précédentes , il viendra pour la série dont le terme général est f ( jc , A ) ,

Sf(x^h) = sf(:i;, A) + f(;r, A) — tfow/. xf(x,h) = S{(xyh) — f(jc;A) +consf.

en changeant, par analogie , S^en S{(xyh).

On donne aussi le nom d'intégrale aux fonctions primitives : u est rintégrale de A « , sf ( je , A) est celle de ((x^ A). Cette dénomination se présente naturellement lorsqu'on regarde le Calcul différentiel comme un|cas particulier du Calcul des différences. ( f^oyei la note de la page 2 du deuxième volume , et n*. 470. ) L'expression générale delà somme d'un nombre quelconque de termes de la suite proposée , ou *yf ( ;i: , A ) , s'appelle terme sommatoire ; et les équations rapportée* ci-dessus , donnent la relation entre le terme général ^ son intégrale première et le terme sommatoire»

$98. Les règles pour l'intégration des différences sont en très^petit nombre , et malheureusement les cas oh l'on peut s'en servir avec succès sont très-bornés. Il suit de la formation des différences , i''. que

A(jir+r— z)=A-5: + Ar— az,

et en remontant aux fonctions primitives , on a

s(A-Sr+ a7— AZ) = 3;A^ + s/îkr— saZ, ce qui ramène l'intégration des différences polynômes à celle des monômes ;

1% que A.tfJTastfAX, d'oii izJX = x.tf AAr=xtfxA j!f, ce qui prouve qu'on peut à volonté faire sortir du signe z , ou introduire ^ous ce signe un fsicteur constant,

6S C H. h Du Calcul

3% Lorsque u = x""^^ et que m est un nombre entier , il vient

En intégrant terme à terme chaque membre de cette équation, remettant dans le premier jc"'*'*, au lieu de », et passant hors du signe 2 les facteurs constans , on obtiendra

+ ^^^ ^ A^S Ar'"-^ . . . + A**'2 x%

Cette équation feroit connoître l'intégrale sx"*, si Ton avoit 2;t^"*, 2jc""%. . . .2:t% puisqu'on en tireroit

Si l'on écrit successivement dans cette dernière /n -— i , /o — > 1 , m — 3, etc. pour m^ on formera des expressions de x ;r"^' , s ;t"*% s jc"*""^, etc. qui ne dépendront que des intégrales des puissances de Af qui leur sont respectivement inférieures. On peut aussi former ces valeurs en remontant ; et si l'on prend d'abord xrr=so ,

il vient ^x^'^-r , parce que l'accolade ne doit renfermer qu'un

nombre m de termes. Cette conclusion se vérifie d'ailleurs â priori^ soit en observant que de «=:jc, il résulte A:i:=:A.:ir', ;r=Ax^,

et par conséquent x x''=^ - ; soit en prenant la diffirence de la fonction primitive -, pour laquelle on trouve

X Jr h

Faisant ensuite msi, mz=z\^ m^sz"^^ etc. et substituant

DES Différences. 69

successivement poursx% 7^x\ £ji^% etc. les valeurs auxquelles on parviendra ^ on formera cette table :

I JC* t

XJf*=--T X

X h 1 lEx*—-- x*H X h

^x'=lL.^Lx'+ ^x^h ^ :c»A'

etc.

Au lieu de pousser plus loin cette induction ^ supposons qu'on ait en général

2 x'^^tA a?'""*'' + iî x"* + C a:"*"* + Z? d?'""^* + etc. nous aurons y en prenant la différence première de chaque membre ,

jg"=.4^ ^ ^x'^h+A' ^ ^ x'^-'h^+A'^ T ^ ^ ^jc'"-*A3+ etc.

I 1.2 Ié2.3

+ jB — 4;™"'A + S -^^ i jc™-^A» + etc*

+ C i ^ a?"^*A + etc.

+ etc.

et comparant entr^eux les termes affectés d'une même puissance de x , nous obtiendrons entre les coeiEciens A^ ^9^9 D, etc« les re* lations suivantes

^rae ' ■ ■

etc«

70 Cb. J. Di/ Calcul

avec lesquelles on déduira facilement les uns des autres lés coefficîens de l'expression de s a;"*, quel que soit Texposant de la puissance m. En calculant immédiatement les douze premiers termes^ on trouvera

I m{m—i){m—x){m—'i){m—jÇ)h?